Obliczyć wyrażenia

[blade]

\(\displaystyle{ \frac{(1+i)^{n-2}}{(1-i)^n}, n \in \mathbb N}\)
no to zamieniam licznik i mianownik na postać trygonometryczną mam :
licznik :
\(\displaystyle{ \sqrt{2}^{n-2}\left(\cos \frac{n\pi-2\pi}{4} +i\sin \frac{n\pi-2\pi}{4}\right)}\)
mianownik :
\(\displaystyle{ \sqrt{2}^n\left( \cos \frac{7n\pi}{4} + i\sin \frac{7n\pi}{4}\right)}\)

No i wstawiam do ułamka (już poskracałem)
\(\displaystyle{ \frac{\left(\cos \frac{n\pi-2\pi}{4} +i\sin \frac{n\pi-2\pi}{4}\right)}{2\left( \cos \frac{7n\pi}{4} + i\sin \frac{7n\pi}{4}\right)}}\)

zamieniłem to na postać wykładniczą :
\(\displaystyle{ \frac{e^{\frac{n\pi-2\pi}{4}}}{2e^{\frac{7n\pi}{4}}}=\frac{1}{2}\cdot e^{\frac{-6n\pi -2\pi}{4}}\)

Tutaj utknąłęm jakieś wskazówki, co mogę zrobić dalej ? Dobrze to w ogóle zacząłem ?
Z góry dziekuje za odpowiedź

[a4karo]

\(\displaystyle{ 1-i=\frac{|1-i|}{1+i}}\)

[blade]

\(\displaystyle{ 1-i=\frac{|1-i|}{1+i}}\)

Dlaczego ? I co mogę z tym zrobić? - tzn. wiem wkładam w to równanie, ale dlaczego \(\displaystyle{ 1-i=\frac{|1-i|}{1+i}}\) ? wolfram wyrzuca false

[a4karo]

Sorki, o kwadracie zapomniałem:
\(\displaystyle{ 1-i=\frac{|1-i|^2}{1+i}}\)


Sprawdzasz takie rzeczy w Wolframie? To sa rzeczy, które trzeba wiedzieć jak się ma do czynienia z liczbami zespolonymi. Gdybyś się ich nauczył, to natychmiast spostrzegłbyś pomyłkę

[blade]

nie pasowało mi, dlatego sprawdziłem, gdyby mi pasowało, to bym nie sprawdzał
Zaraz to przelicze, od początku i wstawie, jak znów, gdzieś utknę, póki co dziękuję za wskazówkę ^^

@EDIT
\(\displaystyle{ \frac{\left( 1+i\right)^{n-2}}{\left( 1-i\right)^n}=\left( 1+i\right)^{n-2} \cdot \frac{\left( 1+i\right)^n}{\left| 1-i\right|^2n}=\frac{\left( 1+i\right)^{2n-2}}{\sqrt{2}^2n}}\)
No i wydaje mi się, że to mi zbyt wiele nie dało, znowu licznik mogę zamienić na postać trygonometryczną, skróci sie z licznikiem no i wyjdzie coś podobnego do tego co wcześniej .
No to liczę dalej i mam :
\(\displaystyle{ \frac{\sqrt{2}^{2n-2}\left( \cos \frac{2n\pi-2\pi}{4} + i\sin \frac{2n\pi - 2\pi}{4}\right)}{\sqrt{2}^{2n}}=\frac{1}{2}\left( \cos \frac{n\pi - \pi}{2} + i\sin \frac{n\pi - \pi}{2}\right)}\)
no i co mam z tym teraz zrobić? Podstawiać \(\displaystyle{ n=\left\{ 1,...,k\right\}}\) gdzie \(\displaystyle{ k\in \mathbb N}\) aż otrzymam okres \(\displaystyle{ 2\pi}\) ?

bym miał \(\displaystyle{ \frac{1}{2}\left( \cos -\frac{\pi}{2} + i\sin -\frac{\pi}{2}\right)=-\frac{1}{2}i}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{2}\left( \cos 0 + i\sin 0\right) =\frac{1}{2}}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{2}\left( \cos \frac{\pi}{2} + i\sin \frac {\pi}{2}\right)=\frac{1}{2}i}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{2}\left( \cos \pi + i\sin \pi\right) = -\frac{1}{2}}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{2}\left( \cos \frac{3\pi}{2} + i\sin \frac{3\pi}{2}\right)=-\frac{1}{2}i}\) --> tego już nie liczę bo jest okres \(\displaystyle{ 2\pi}\)
więc odpowiedź :
\(\displaystyle{ \frac{(1+i)^{n-2}}{(1-i)^n}= \begin{cases} -\frac{1}{2}i \\ \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2}i \\ -\frac{1}{2} \end{cases}}\)

Dobrze, czy to nie o to chodziło ?