Rozwiązać rownianie w dziedzinie zespolonej

[blade]

Polecenie jak w tytule :
\(\displaystyle{ \left[ z^2+2iz+3(1+i)\right] \cdot \left[ z^4 + \frac{1-i}{\sqrt{2}}\right] = 0}\)

No i tutaj wiadomo to się równa zero jeśli pierwsze lub drugie równanie jest równe zero no to rozwiązuje :
\(\displaystyle{ z^2+2iz+3(1+i)=0}\)
\(\displaystyle{ \Delta = -16 - 12i}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{\Delta}=\sqrt{-16-12i}}\)
\(\displaystyle{ c=x+iy=\sqrt{-16-12i}}\)
\(\displaystyle{ x+iy=\sqrt{-16-12i}}\)/\(\displaystyle{ (...)^2}\)
\(\displaystyle{ x^2 + 2xiy - y^2 = -16 -12i}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} x^2 -y^2 = -16 \\ 2xy=-12 \\ x^2+y^2=20 \end{cases}}\)

rozwiązuje i mam :
\(\displaystyle{ \begin{cases} x=\sqrt{2} \\ y=-3\sqrt{2} \end{cases} \vee \begin{cases} x=-\sqrt{2} \\ y=3\sqrt{2} \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \sqrt{\Delta}= \begin{cases} \sqrt{2} -3\sqrt{2}i \\ -\sqrt{2} + 3\sqrt{2} \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ z_{1}=\frac{-2i-\sqrt{2} + 3\sqrt{2}i}{2} \vee z_{2}=\frac{-2i+\sqrt{2} - 3\sqrt{2}i}{2}}\)

Tutaj wszystko fajnie, wynik pokrywa się z wolframalpha

\(\displaystyle{ \left[ z^4 + \frac{1-i}{\sqrt{2}}\right] =0}\)
No i teraz, jak to sprytnie ugryźć, przerzucić na drugą stronę? Podłożyć pod \(\displaystyle{ z=x+iy}\), trochę monotonne, nie ma jakiegoś szybszego sposobu ?
Myśłałem też zrobić :
\(\displaystyle{ z= \sqrt[4]{-\frac{1-i}{\sqrt{2}}\right]} \vee z=-\sqrt[4]{-\frac{1-i}{\sqrt{2}}\right]}}\)

albo zamienić \(\displaystyle{ z^4}\) i \(\displaystyle{ \frac{1-i}{\sqrt{2}}\right]}\) na postać wykładniczą

[kerajs]

\(\displaystyle{ z^4=- \frac{1}{ \sqrt{2} }+i \frac{1}{ \sqrt{2} }}\)
\(\displaystyle{ z^4=1e ^{i \frac{3 \pi }{4} }}\)
\(\displaystyle{ z=e ^{i( \frac{3 \pi }{16}+ k\frac{ \pi }{2} )}}\)
\(\displaystyle{ z _{0} =e ^{i\frac{3 \pi }{16}} \vee z _{1} =e ^{i \frac{11 \pi }{16}} \vee z _{2} =e ^{i\frac{19 \pi }{16}} \vee z _{3} =e ^{i \frac{27 \pi }{16}}}\)