Zaznacz i opisz na płaszczyznie zbior A liczb zespolonych Z spełniających warunek
\(\displaystyle{ 0 \le arg\left( 1+iz\right) \le \frac{ \pi }{2}}\)
2.
\(\displaystyle{ Im\left(z ^{4} \right) < 0}\)
Czy mógłby ktoś wytłumaczyć mi o co tu chodzi, co i jak w sumie mam zrobić?
Zaznaczyć na płaszczyźnie zbior liczb zespolonych
-
kerajs
- Użytkownik
- Posty: 8585
- Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 307 razy
- Pomógł: 3351 razy
Zaznaczyć na płaszczyźnie zbior liczb zespolonych
1. Niech \(\displaystyle{ z=x+iy}\) wtedy \(\displaystyle{ 1+iz=1-y+ix}\) co można jeszcze przedstawić w postaci trygonometrycznej \(\displaystyle{ 1+iz=1-y+ix= \sqrt{(1-y)^2+(x)^2}(\cos \alpha +i\sin \alpha )}\) gdzie \(\displaystyle{ \tan \alpha = \frac{x}{1-y} \Rightarrow \alpha =\arctg \frac{x}{1-y}}\)
Ty masz nierówność
\(\displaystyle{ 0 \le arg\left( 1+iz\right) \le \frac{ \pi }{2}}\)
\(\displaystyle{ 0 \le \alpha < \frac{ \pi }{2} \vee \alpha = \frac{ \pi }{2}}\) (wyłączonym równaniem zajmę się po nierówności)
\(\displaystyle{ 0 \le \arctg \frac{x}{1-y}< \frac{ \pi }{2}}\)
obustronnie tangensując masz
\(\displaystyle{ 0 \le \frac{x}{1-y} < \infty}\)
Prawa nierówność jest zawsze spełniona, a rozwiazanie lewej nierówności to :
\(\displaystyle{ 0 \le \frac{x}{1-y} \Rightarrow (x \ge 0 \wedge 1-y > 0) \vee (x \le 0 \wedge 1-y<0)}\)
zaznaczenie tych obszarów pewnie nie będzie dla Ciebie problemem
Osobno rozwiązuję wyłączoną równość:
\(\displaystyle{ arg\left( 1+iz\right)= \frac{ \pi }{2}}\)
W tej sytuacji masz tylko dodatnią liczbę urojoną co daje warunek
\(\displaystyle{ x>0 \wedge 1-y=0}\) którą to półprostą dodajesz na wykresie .
2. \(\displaystyle{ Im\left(z ^{4} \right) < 0}\)
\(\displaystyle{ Im\left(\left| z\right| ^{4}(\cos 4\alpha +i\sin 4 \alpha ) \right) < 0}\)
\(\displaystyle{ \left| z\right| ^{4}\sin 4 \alpha < 0}\)
\(\displaystyle{ \left| z\right|>0 \wedge \sin 4 \alpha < 0}\)
\(\displaystyle{ \left| z\right|>0 \wedge \alpha \in \left( \frac{ \pi }{4}; \frac{ \pi }{2} \right) \cup \left( \frac{ 3 \pi }{4}; \pi \right) \cup \left( \frac{ 5 \pi }{4}; \frac{ 3 \pi }{2} \right) \cup \left( \frac{ 7 \pi }{4}; 2 \pi \right)}\)
Potrafisz teraz narysować te obszary?
Ty masz nierówność
\(\displaystyle{ 0 \le arg\left( 1+iz\right) \le \frac{ \pi }{2}}\)
\(\displaystyle{ 0 \le \alpha < \frac{ \pi }{2} \vee \alpha = \frac{ \pi }{2}}\) (wyłączonym równaniem zajmę się po nierówności)
\(\displaystyle{ 0 \le \arctg \frac{x}{1-y}< \frac{ \pi }{2}}\)
obustronnie tangensując masz
\(\displaystyle{ 0 \le \frac{x}{1-y} < \infty}\)
Prawa nierówność jest zawsze spełniona, a rozwiazanie lewej nierówności to :
\(\displaystyle{ 0 \le \frac{x}{1-y} \Rightarrow (x \ge 0 \wedge 1-y > 0) \vee (x \le 0 \wedge 1-y<0)}\)
zaznaczenie tych obszarów pewnie nie będzie dla Ciebie problemem
Osobno rozwiązuję wyłączoną równość:
\(\displaystyle{ arg\left( 1+iz\right)= \frac{ \pi }{2}}\)
W tej sytuacji masz tylko dodatnią liczbę urojoną co daje warunek
\(\displaystyle{ x>0 \wedge 1-y=0}\) którą to półprostą dodajesz na wykresie .
2. \(\displaystyle{ Im\left(z ^{4} \right) < 0}\)
\(\displaystyle{ Im\left(\left| z\right| ^{4}(\cos 4\alpha +i\sin 4 \alpha ) \right) < 0}\)
\(\displaystyle{ \left| z\right| ^{4}\sin 4 \alpha < 0}\)
\(\displaystyle{ \left| z\right|>0 \wedge \sin 4 \alpha < 0}\)
\(\displaystyle{ \left| z\right|>0 \wedge \alpha \in \left( \frac{ \pi }{4}; \frac{ \pi }{2} \right) \cup \left( \frac{ 3 \pi }{4}; \pi \right) \cup \left( \frac{ 5 \pi }{4}; \frac{ 3 \pi }{2} \right) \cup \left( \frac{ 7 \pi }{4}; 2 \pi \right)}\)
Potrafisz teraz narysować te obszary?