Znak po podniesieniu "i" do kwadratu

[Szaniaczysko]

Witam, przy rozwiązywaniu zadania wg. wykładowcy popełniam błąd, mianowicie:

\(\displaystyle{ z= \frac{4-3i}{3-4i}}\)

\(\displaystyle{ z= \frac{\left( 4-3i\right) \left( 3+4i\right) }{\left( 3-4i\right)\left( 3+4i\right) }}\)

\(\displaystyle{ z= \frac{12+7i+12}{9- 16i^{2} }}\)

\(\displaystyle{ z= \frac{24+7i}{25}=\frac{24}{25}+\frac{7i}{25}}\)

\(\displaystyle{ z=\frac{24}{25}+\frac{7i}{25}}\)

\(\displaystyle{ \left| z\right|= \sqrt{ \left( \frac{24}{25}\right) ^{2} +\left( \frac{7i}{25}\right) ^{2}}}\)

\(\displaystyle{ \left| z\right|= \sqrt{ \frac{576}{625}+ \frac{49 i^{2} }{625} }}\)

i w tym miejscu ów wykładowca twierdzi że nie powinien być znak różnicy pod pierwiastkiem a znak sumy, ale część urojona podniesiona do kwadratu to -1 więc i znak mi się zmieni ?

\(\displaystyle{ \left| z\right|= \sqrt{ \frac{576}{625}- \frac{49 }{625} }}\)

\(\displaystyle{ \left| z\right|= \sqrt{ \frac{527}{625}}}\)

\(\displaystyle{ \left| z\right| = \frac{ \sqrt{527} }{25}}\)

[Lbubsazob]

Jak liczysz moduł z liczby zespolonej \(\displaystyle{ z=a+b\text{i}}\), to \(\displaystyle{ |z|=\sqrt{a^2+b^2}}\), a nie \(\displaystyle{ \sqrt{a^2+\left( b\text{i}\right)^2}}\).

[Szaniaczysko]

Nie bardzo zrozumiałem twoją podpowiedź ? Czyli nie podnosić "i" do kwadratu ? wtedy jak się pozbyć tej części urojonej ?

[musialmi]

\(\displaystyle{ z=\frac{24}{25}+\frac{7i}{25}}\)

\(\displaystyle{ z= \sqrt{ \left( \frac{24}{25}\right) ^{2} +\left( \frac{7i}{25}\right) ^{2}}}\)

Chodzi o to miejsce. W drugiej linijce nie liczysz liczby, tylko moduł liczby. Albo po prostu się pomyliłeś Bo te linijki nie są równoważne.

[Szaniaczysko]

tak moduł zapomniałem o znaku wartości bezwzględnej ? Ale co z tym znakiem ?

[Lbubsazob]

Po prostu taka jest definicja modułu: \(\displaystyle{ |z|=\sqrt{a^2+b^2}}\). Podnosisz do kwadratu tylko \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\), zaś \(\displaystyle{ \text{i}}\) zostawiasz w spokoju.

[AiDi]

Nie pisz pod pierwiastkiem \(\displaystyle{ i}\). Popatrz na definicję modułu, tam nie ma \(\displaystyle{ i}\).

[Szaniaczysko]

Czyli "i" znika samo z siebie przy module ? Przepraszam za takie łopatologiczne tłumaczenie

[musialmi]

Nie znika, tylko taka jest definicja. Tak samo, jakbyś pomiędzy częściami rzeczywistą i urojoną miał minus, to podczas liczeniu modułu minusa nie uwzględniamy. Możesz to nazywać zamianą na plus i znikaniem jednostki urojonej, ale ja bym tak tego nie nazwał

[yorgin]

Interpretacją modułu liczby zespolonej \(\displaystyle{ a+ib}\) jest długość wektora \(\displaystyle{ [a,b]}\) lub równoważnie odległość punktu \(\displaystyle{ (a,b)}\) od początku układu współrzędnych. Z twierdzenia Pitagorasa wynika, że ta wielkość to \(\displaystyle{ \sqrt{a^2+b^2}}\).

To powinno Ci pozwolić zapamiętać do końca życia, jaki jest wzór na moduł liczby zespolonej

Wzorki z jednostką urojoną nie mają oczywiście sensu. Gdybyśmy wzięli liczbę \(\displaystyle{ z=i}\), to mielibyśmy \(\displaystyle{ |i|=\sqrt{i^2}=\sqrt{-1}=\{i,-i\}}\), więc nagle coś, co miało być liczbą rzeczywistą, nie tylko nie jest taką, ale co gorsza jest zbiorem liczb zespolonych.