Rozwiąż równanie

[blade]

1.
\(\displaystyle{ \left( iz\right)^3=\left( \frac{5}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^9}\)
\(\displaystyle{ i^3z^3=-z^3}\)
później chciałem zamienić \(\displaystyle{ \left( \frac{5}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}\) na postać wykładniczą
\(\displaystyle{ \left| \left( \frac{5}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\right| = \sqrt{\frac{25}{4}+\frac{3}{4}}=\frac{\sqrt{28}}{2}=\sqrt{7}}\)
no i teraz mam problem z wyznaczeniem \(\displaystyle{ \varphi}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} \cos \varphi = \frac{5}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{7}}=\frac{5}{2\sqrt{7}}=\frac{5\sqrt{7}}{14} \\ \sin \varphi=\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{7}}=\frac{\sqrt{21}}{14} \end{cases}}\)

No i tutaj utknąłem. Ktoś, coś, może pomóć?

2.\(\displaystyle{ \overline{\overline{z}\cdot z^4}=z\cdot |z|^2}\)
po uproszczeniu wyszło mi :
\(\displaystyle{ r^5e^0=r^3e^{i\varphi}}\)
\(\displaystyle{ r=0 \vee r=1 \vee \varphi_{0}=0 ; \varphi_{1}=2\pi}\)
i mam odp : \(\displaystyle{ z=0 \vee z=1}\) a powinno być jeszcze\(\displaystyle{ z=-1}\) i chciałem zapytać skąd bierze się to -1 ?

[sebnorth]

1. może coś takiego chociaż rachunki chyba nie będą przyjemne

\(\displaystyle{ u = \left( \frac{5}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^3}\)

\(\displaystyle{ (iz)^3 - u^3 = 0}\)

\(\displaystyle{ (iz - u)((iz)^2 + zui + u^2) = 0}\)

\(\displaystyle{ \ldots}\)

2. coś się nie zgadza:

\(\displaystyle{ z = i}\) również spełnia to równanie:

\(\displaystyle{ \overline{i} = -i}\)

\(\displaystyle{ \overline{i} \cdot i^4 = -i}\)

\(\displaystyle{ \overline{\overline{i} \cdot i^4} = i = i \cdot |i|^2}\)

z innej beczki:

minus \(\displaystyle{ 1}\) wychodzi bo \(\displaystyle{ r^5-r^3 = r^3 (r^2 - 1) = r^3(r-1)(r+1)}\)

[kerajs]

Spóźniłem się, ale podpowiem co do 2.

2.\(\displaystyle{ \overline{\overline{z}\cdot z^4}=z\cdot |z|^2}\)
po uproszczeniu wyszło mi :
\(\displaystyle{ r^5e^0=r^3e^{i\varphi}}\)

Mi wychodzi
\(\displaystyle{ r^5e ^{ -i3\varphi}=r^3e ^{i\varphi} \\r^3e ^{i\varphi}(r^2e ^{ -i4\varphi}-1) =0}\)
Potrafisz dalej to rozwiązać?

[blade]

z innej beczki:

minus \(\displaystyle{ 1}\) wychodzi bo \(\displaystyle{ r^5-r^3 = r^3 (r^2 - 1) = r^3(r-1)(r+1)}\)

\(\displaystyle{ r \neq -1}\) , bo \(\displaystyle{ r}\) to moduł, a moduł z definicji jest dodatni

Mi wychodzi
\(\displaystyle{ r^5e ^{ -i3\varphi}=r^3e ^{i\varphi} \\r^3e ^{i\varphi}(r^2e ^{ -i4\varphi}-1) =0}\)
Potrafisz dalej to rozwiązać?

Jestem nauczony
\(\displaystyle{ r^5e ^{ -i3\varphi}=r^3e ^{i\varphi}}\)
porównać \(\displaystyle{ r^5=r^3 \wedge -3\varphi=\varphi +2k\pi}\)
dlatego wlasnie mi to r=-1 nie pasuje, bo normalnie to odrzucam, bo r nie moze być przecież ujemne, skoro to moduł.

[sebnorth]

masz racje w kwestii minus jedynki, dostałem zaćmienia mózgu

natomiast \(\displaystyle{ z = -1}\) może wyjść jeśli \(\displaystyle{ r = 1}\) i \(\displaystyle{ \phi = \pi}\)

[blade]

Dobra, w takim razie źle po prostu to policzyłem, dziękuję za pomoc wszystko się wyjaśniło :>