Znaleźć współczynniki wielomianu

[blade]

Wiedząc, że \(\displaystyle{ z_{1}=1+i}\), jest jednym z pierwiastków wielomianu \(\displaystyle{ W(z)=az^3+bz+1}\), gdzie \(\displaystyle{ a,b \in \mathbb R}\), znaleźć współczynniki \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\) oraz pozostałe pierwiastki

skoro \(\displaystyle{ z}\) jest pierwiastkiem to \(\displaystyle{ \overline{z}}\) też jest jego pierwiastkiem. Później wstawiłem to do schematu Hornera i wyszło mi \(\displaystyle{ a=\frac{1}{4}}\), \(\displaystyle{ b=-\frac{1}{2}}\)
Czy mógłby ktoś sprawdzić szybko, czy dobrze rozwiązałem ?
Teraz coś mi tutaj nie pasuje, bo skoro \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\) nie są całkowite to nie mogę zastosować twierdzenia o pierwiastkach wymiernych wielomianu. Dlatego myślę, że coś źle zrobiłem znajdując \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\).

[sebnorth]

mnie się zgadza:

[Kacperdev]

blade, chodzi o to, że możesz pomnożyć wielomian obustronnie przez dowolną liczbę różną od zera nie zmieniając pierwiastków wielomianu.

[blade]

mnie się zgadza:

Dlaczego współczynnik wolny w Twoim równaniu wynosi 4 ?

PS: Już rozumiem, pomnożyłeś wielomian przez 4

PS2:
Więc trzeci pierwiastek
\(\displaystyle{ \frac{p}{q}= +/- 1 ; +/-2}\) (nie wiem jak w latexie zapisać + na górze, - na dole, tak jak w zeszycie )
Biorę \(\displaystyle{ -2}\):
\(\displaystyle{ 4W(-2)=-8+4+4=0}\) - > tyle wystarczy? nie musze już pisać, że \(\displaystyle{ (z+2)|W(z)}\) a później rozpisywać \(\displaystyle{ W(z)}\) na iloczyn tych pierwiastkow?
więc Odp: pierwiastkami tego wielomianiu są : \(\displaystyle{ 1+i, 1-i, -2}\)