Funkcja z liczb zespolonych

[grzes9525]

Wie ktoś jak sprawdzić czy ta funkcja \(\displaystyle{ f : C \rightarrow C, z \rightarrow z^{4}}\) jest injekcją i czy jest "na" ?

[musialmi]

Chodzi o \(\displaystyle{ f(z)=z^4}\)? Najpierw sprawdź/ pomyśl czy taka funkcja rzeczywista jest różnowartościowa. Jeśli nie jest, to zespolona tym bardziej nie będzie, bo funkcja rzeczywista to szczególny przypadek zespolonej.

[sebnorth]

Jeśli \(\displaystyle{ C}\) oznacza tu liczby zespolone to:

nie jest iniekcją: \(\displaystyle{ (-1)^2 = 1 ^2}\)

jest suriekcją ponieważ równanie \(\displaystyle{ x^4 = z}\) ma rozwiązanie dla dowolnego \(\displaystyle{ z}\).

[grzes9525]

Chodzi o \(\displaystyle{ f(z)=z^4}\)?

Tak.-- 10 lis 2014, o 18:53 --

jest suriekcją ponieważ równanie \(\displaystyle{ x^4 = z}\) ma rozwiązanie dla dowolnego \(\displaystyle{ z}\).

Mógłbyś jeszcze raz dokładniej wytłumaczyć dlaczego jest suriekcją bo tego nie rozumiem.

[sebnorth]

suriekcją czyli domyślam się że chodzi o funkcję 'na' czyli dla każdego \(\displaystyle{ z \in C}\) istnieje \(\displaystyle{ x \in C}\), że \(\displaystyle{ f(x) = z}\).

[grzes9525]

A dałoby się tę funkcję narysować ?

[yorgin]

Nie da się, gdyż taki wykres żyje w rzeczywistej przestrzeni czterowymiarowej.

[musialmi]

Mógłbyś jeszcze raz dokładniej wytłumaczyć dlaczego jest suriekcją bo tego nie rozumiem.

Jeśli nasza \(\displaystyle{ f(z)=z^4}\), to oznaczmy przez igrek jej wartości, wtedy mamy \(\displaystyle{ y=z^4}\). Pytanie jest takie: czy dla każdego igreka znajdzie się taki \(\displaystyle{ z}\)? Jeśli tak, to wtedy funkcja jest suriekcją (czyli przyjmuje wszystkie wartości przeciwdziedziny, czyli wszystkie igreki przeciwdziedziny). Oczywiście \(\displaystyle{ y=z^4}\) jest równoważne \(\displaystyle{ \sqrt[4]y=z}\). Czy dla każdego igreka (zespolonego!) znajdzie się taki \(\displaystyle{ z}\)? No znajdzie, bo pierwiastek czwartego stopnia liczby zespolonej jest liczbą zespoloną. Inaczej niż w liczbach rzeczywistych, bo nie każdy pierwiastek czwartego stopnia liczby rzeczywistej jest liczbą rzeczywistą - ujemne nie mają swoich pierwiastków czwartego stopnia.

[grzes9525]

Jak zaznaczyć na płaszczyźnie zespolonej zbiór \(\displaystyle{ f(R _{-})}\) gdzie R_ to liczby rzeczywiste ujemne

[Kacperdev]

Półprosta dodatnich liczb rzeczywistych.