Wykazać równość dla sumy cosinusów.

Definicja. Postać wykładnicza i trygonometryczna. Zagadnienia związane z ciałem liczb zespolonych.
blade
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 809
Rejestracja: 3 cze 2014, o 00:07
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 586 razy
Pomógł: 16 razy

Wykazać równość dla sumy cosinusów.

Post autor: blade »

Wykaż, że
\(\displaystyle{ \cos \frac{\pi}{11} + \cos \frac{3\pi}{11} + \cos \frac{5\pi}{11} + \cos \frac{7\pi}{11} + \cos \frac{9\pi}{11}=\frac{1}{2}}\)

Zauważyłem, że jeśli założę, sobie \(\displaystyle{ z=\cos \frac{\pi}{11} + i\sin \frac{\pi}{11}}\)
to kolejne wyrazy, bedą równe \(\displaystyle{ z^3;z^5;z^7;z^9}\), więc wtedy muszę dowieść, że \(\displaystyle{ Re\left( z+z^3+z^5+z^7+z^9\right) = \frac{1}{2}}\)
\(\displaystyle{ S_{n}=a_{1}\cdot \frac{1-q^n}{1-q}}\)
\(\displaystyle{ S_{5}=z\frac{1-(z^2)^5}{1-z^2}=z\frac{1-z^{10}}{1-z^2}=\frac{z-z^{11}}{1-z^2}=\frac{1+z}{(1-z)(1+z)}=\frac{1}{1-z}=\frac{1}{1-\cos \frac{\pi}{11}-i\sin \frac{\pi}{11}}}\)

No i tutaj utknąłem, nie wiem jak doprowadzić to do takiej postaci, aby Re z tego równało się \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\).. Mógłby, ktoś, coś doradzić. Dobrze w ogóle zacząłem?
Ostatnio zmieniony 10 lis 2014, o 16:43 przez , łącznie zmieniany 2 razy.
Powód: "III 5.5 [Temat] Nie może składać się tylko ze słów: "Udowodnij, że...", "Zadanie", "Problem" itp." Regulamin Forum - http://matematyka.pl/regulamin.htm
rafalpw
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2203
Rejestracja: 15 lis 2012, o 00:13
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 43 razy
Pomógł: 526 razy

Wykazać równość dla sumy cosinusów.

Post autor: rafalpw »

Dobrze jest. Pomnóż licznik i mianownik przez sprzężenie mianownika.
blade
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 809
Rejestracja: 3 cze 2014, o 00:07
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 586 razy
Pomógł: 16 razy

Wykazać równość dla sumy sinusów.

Post autor: blade »

\(\displaystyle{ \frac{1}{1-\cos \frac{\pi}{11}-i\sin \frac{\pi}{11}} \cdot \frac{1-\cos\frac{\pi}{11}+i\sin\frac{\pi}{11}}{{1-\cos \frac{\pi}{11}+i\sin \frac{\pi}{11}}}=\frac{1-\cos \frac{\pi}{11}+i\sin \frac{\pi}{11}}{(1-\cos\frac{\pi}{11})^2+\sin^2\frac{\pi}{11}}=\frac{1-\cos \frac{\pi}{11}+i\sin \frac{\pi}{11}}{1-2cos\frac{\pi}{11}+cos^2\frac{\pi}{11}+sin^2\frac{\pi}{11}}=\frac{1-\cos \frac{\pi}{11}+i\sin \frac{\pi}{11}}{2(1-cos\frac{\pi}{11})}}\)
więc \(\displaystyle{ \Re\left[ \frac{1-\cos \frac{\pi}{11}+i\sin \frac{\pi}{11}}{2(1-cos\frac{\pi}{11})}\right] =\frac{1-cos\frac{\pi}{11}}{2(1-cos\frac{\pi}{11})}=\frac{1}{2}}\)
No tak, dziękuję, tylko jak wpaść na to, aby rozszerzyć ułamek przez zespolenie mianownika? Chyba chodziło o to aby pozbyć się po prostu liczby urojonej z mianownika, pytam, aby później wiedzieć co zrobić w przypadku podobnego zadania, a jeśli zrozumiem skąd pomysł pomnożenia przez zespolenie, to łatwiej będę miał kiedyś wymyślić co zrobić
rafalpw
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2203
Rejestracja: 15 lis 2012, o 00:13
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 43 razy
Pomógł: 526 razy

Wykazać równość dla sumy cosinusów.

Post autor: rafalpw »

Sprzężenie a nie zespolenie. To jest standardowy manewr przy szukaniu części urojonej czy rzeczywistej.
blade
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 809
Rejestracja: 3 cze 2014, o 00:07
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 586 razy
Pomógł: 16 razy

Wykazać równość dla sumy cosinusów.

Post autor: blade »

rafalpw pisze:Sprzężenie a nie zespolenie.
Tak oczywiście to miałem na myśli
ODPOWIEDZ