Równania zespolone

[blade]

Cześć, rozwiązywałem ostatnio kilka zadań z liczb zespolonych i nie jestem pewien co do kilku wyników.

1)\(\displaystyle{ \overline{z+i} -z+i=0}\)
\(\displaystyle{ \overline{x+i(y+1)}-x-yi-+i=0}\)
\(\displaystyle{ x-yi-i-x-yi+i=0}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} y=0 \\ x \in \mathbb R \end{cases}}\)

Nie wiem, czy dobrze to zrobiłem i co na końcu powinienem podać jako wynik ?

2)\(\displaystyle{ \frac{7-2\sqrt{7}i}{\left| z\right| -z}=1}\)
\(\displaystyle{ 7-2\sqrt{7}i=\left| \right| - z}\)
\(\displaystyle{ 7-2\sqrt{7}i = \sqrt{x^2+y^2} -x-yi}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} 7=\sqrt{x^2+y^2}-x \\ -2\sqrt{7}=-y \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ y=2\sqrt{7}}\)
\(\displaystyle{ 7=\sqrt{x^2+28}-x}\)
\(\displaystyle{ 7+x=\sqrt{x^2+28}}\)/\(\displaystyle{ (...)^2}\)
\(\displaystyle{ 49+x^2+14x=x^2+28}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} x=\frac{21}{14} \\ y=2\sqrt{7} \end{cases}}\)

Tutaj podobnie jak w podpunkcie 1.

3)\(\displaystyle{ z=\sin \alpha + icos \alpha}\)
\(\displaystyle{ \left| z\right| =\sqrt{\sin^2+\cos^2}=1}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} \cos \varphi = \sin \alpha \\ \sin \varphi = \cos \alpha \end{cases}}\)

Tutaj utknąłem na wyznaczeniu \(\displaystyle{ \varphi}\)

4)\(\displaystyle{ z^2 + iz +3i +1=0}\)
zamieniłem i oraz 1 na postać wykładniczą :
\(\displaystyle{ r^2e^{2i\varphi}+re^{\frac{\pi i}{2}+i\varphi} +3e^{\frac{\pi i}{2}} +e^0=0}\)
\(\displaystyle{ r^2e^{2i\varphi}=(-1)\cdot re^{\frac{\pi i}{2}+i\varphi}-3e^{\frac{\pi i}{2}}-e^0}\)
\(\displaystyle{ r^2e^{2i\varphi}=e^{\pi i}\cdot re^{\frac{\pi i}{2}+i\varphi}-3e^{\frac{\pi i}{2}} -e^0}\)
\(\displaystyle{ r^2e^{2i\varphi}=re^{\frac{3}{2}\pi i+i\varphi}-3e^{\frac{\pi i}{2}} -e^0}\)

Nie jestem pewien czy do tego miejsca dobrze to zrobiłem ? No i nie wiem jak pozbyć się tego \(\displaystyle{ -e^0}\) i \(\displaystyle{ 3e^{\frac{\pi i}{2}}}\)


Proszę o pomoc, z góry dziękuję

[kalwi]

Cześć, rozwiązywałem ostatnio kilka zadań z liczb zespolonych i nie jestem pewien co do kilku wyników.

1)\(\displaystyle{ \overline{z+i} -z+i=0}\)
\(\displaystyle{ \overline{x+i(y+1)}-x-yi-+i=0}\)
\(\displaystyle{ x-yi-i-x-yi+i=0}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} y=0 \\ x \in \mathbb R \end{cases}}\)

Nie wiem, czy dobrze to zrobiłem i co na końcu powinienem podać jako wynik ?

Jest git. Ja bym tak zostawił wynik, raczej nikt nie powinien się przyczepić.

2) jeśli nie walnąłeś się gdzieś w obliczeniach to jest ok.

3) \(\displaystyle{ z=\sin \alpha + icos \alpha}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} \cos \varphi = \sin \alpha \\ \sin \varphi = \cos \alpha \end{cases}}\)

Wystarczy skorzystać z faktu, że

\(\displaystyle{ \cos x = \sin \left( x+ \frac{\pi}{2} \right) \\ \\ \sin x = \cos \left( x- \frac{\pi}{2} \right)}\)

A potem użyj np. wzoru na różnicę cosinusów / sinusów

4) Po prostu policz deltę (potraktuj to jako zwykłe równanie kwadratowe, tyle że w zespolonych)

[blade]

4) Po prostu policz deltę (potraktuj to jako zwykłe równanie kwadratowe, tyle że w zespolonych)

\(\displaystyle{ z^2 + iz +3i +1=0}\)
\(\displaystyle{ \Delta=-5-12}\)i
\(\displaystyle{ \sqrt{\Delta}=\sqrt{-5-12i}}\)
\(\displaystyle{ c=\sqrt{-5-12i}}\)
\(\displaystyle{ x+iy=\sqrt{-5-12i}/(...)^2}\)
\(\displaystyle{ x^2 +2xyi -y^2=-5-12i}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} x^2-y^2=-5 \\ 2xy=-12 \\ x^2+y^2=13 \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ 2x^2=8}\)
\(\displaystyle{ x=2 \vee x=-2}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} x=2 \\ y=-3 \end{cases} \vee \begin{cases} x=-2 \\ y=3 \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \sqrt{\Delta}= \begin{cases} 2-3i \\ -2+3i \end{cases}}\)


\(\displaystyle{ z_{1}=\frac{-i+2-3i}{2}=1-2i \vee z_{2}=\frac{-i-2+3i}{2}=-1+i}\)

A co do 3 :
Ad.3 (tutaj zapomnialem napisać, że polecenie było - zamienić do postaci trygonometrycznej)
\(\displaystyle{ z=\sin \alpha + icos \alpha}\)
\(\displaystyle{ \left| z\right| =\sqrt{\sin^2+\cos^2}=1}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} \cos \varphi = \sin \alpha=\cos\left( \alpha -\frac{\pi}{2}\right)=\cos\alpha\cos\frac{\pi}{2} +\sin\alpha\sin\frac{\pi}{2} \\ \sin \varphi = \cos \alpha =\sin\left( \alpha +\frac{\pi}{2}\right)=\sin\alpha\cos\frac{\pi}{2} + cos\alpha\sin\frac{\pi}{2}\end{cases}}\)

Nadal nie widzę w czym mogłoby mi to pomóć.

[rafalpw]

Różnicę sinusów a nie sinus różnicy.
\(\displaystyle{ \cos \varphi=\cos\left( \alpha- \frac{\pi }{2} \right) \Leftrightarrow \cos \varphi - \cos \left( \alpha - \frac{\pi}{2} \right) = 0}\) i teraz po lewej masz właśnie różnicę cosinusów.