czemu taki wynik?

[kubuss95]

Witam.
Mam pewne zadanie z liczb zespolonych:
\(\displaystyle{ |z| + \overline{z} = 8 + 4i.}\)
W rozwiązaniu mam, że wynik ma wynosić \(\displaystyle{ z = 3 - 4i}\).
\(\displaystyle{ |z|}\) ze wzoru jest równe \(\displaystyle{ \sqrt{x^{2}+y^{2}}}\)
Natomiast sprzężenie to: \(\displaystyle{ \overline{z} = x - yi}\).
Stąd przekształciłem równanie wyjściowe na:
\(\displaystyle{ \sqrt{x^{2}+y^{2}} + x - yi = 8 + 4i}\)
Następnie porównujemy elementy rzeczywiste i urojone:
\(\displaystyle{ \begin{cases} \sqrt{x^{2}+y^{2}} + x = 8\\-y = 4\end{cases}}\)
drugie równanie mnożymy obustronnie przez \(\displaystyle{ -1}\) i otrzymujemy, że \(\displaystyle{ y = -4}\).
Podstawiamy za \(\displaystyle{ y}\) wartość \(\displaystyle{ -4}\) do pierwszego równania i otrzymujemy:
\(\displaystyle{ \sqrt{x^{2}+(-4)^{2}} + x = 8}\)
Stąd wynika, że:
\(\displaystyle{ \sqrt{x^{2}+16} + x = 8}\)
Następnie obustronnie podnosimy do kwadratu i otrzymujemy:
\(\displaystyle{ {x^{2}}+16+{x^{2}}=64}\)
Następnie po uporządkowaniu i przeniesieniu \(\displaystyle{ 16}\) na prawą stronę otrzymujemy:
\(\displaystyle{ {2x^{2}}=64-16}\)
Po podzieleniu przez 2 otrzymujemy:
\(\displaystyle{ {x^{2}}=24}\)
A pierwiastek z tego jest równy:
\(\displaystyle{ 2\sqrt{6}}\)
Więc z powinno wyjść:
\(\displaystyle{ z = 2\sqrt{6}-4i}\)

Może mi ktoś powiedzieć, gdzie zrobiłem błąd? Czemu mój wynik jest inny od tego, który wyjść powinien?

[rafalpw]

Błąd przy obustronnym podnoszeniu do kwadratu.

[kubuss95]

Nie rozumiem gdzie tkwi błąd?
Jeżeli \(\displaystyle{ \sqrt{x^{2}+y^{2}}}\) podniesiemy do kwadratu to kwadrat zredukuje się nam z pierwiastkiem i zostanie \(\displaystyle{ x^{2}+y^{2}}\), następnie \(\displaystyle{ x}\) podniesiony do kwadratu da nam \(\displaystyle{ x^{2}}\) no a \(\displaystyle{ 8^{2}}\) jest równe 64, więc ja błędu tutaj nie widzę.

[Premislav]

kubuss95, zazwyczaj \(\displaystyle{ (a+b)^{2}\neq a ^{2}+b ^{2}}\).
Tutaj:

Stąd wynika, że:
\(\displaystyle{ \sqrt{x^{2}+16} + x = 8}\)
Następnie obustronnie podnosimy do kwadratu i otrzymujemy:
\(\displaystyle{ {x^{2}}+16+{x^{2}}=64}\)

zastosowałeś właśnie taki nieprawdziwy "wzór".

[kubuss95]

czyli wyrażenie podpierwiastkowe mam potraktować jako wyrażenie a, a wyrażenie "x" mam potraktować jako b a następnie zastosować wzór na sumę kwadratów z czego wyjdzie \(\displaystyle{ a^{2}+2ab+b^{2}}\) tak?

[Premislav]

Ja tu bym przerzucił \(\displaystyle{ x}\) na drugą stronę i podzielił na przypadki \(\displaystyle{ 8-x \ge 0}\) (wtedy normalnie podnosimy do kwadratu) i \(\displaystyle{ 8-x<0}\) (wtedy nierówność jest spełniona, bo pierwiastek arytmetyczny z liczby rzeczywistej jest nieujemny - przynajmniej o ile dobrze interpretuję, bo \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ y}\) to jak rozumiem część rzeczywista i urojona, a więc liczby rzeczywiste).

[Konradek]

czyli wyrażenie podpierwiastkowe mam potraktować jako wyrażenie a, a wyrażenie "x" mam potraktować jako b a następnie zastosować wzór na sumę kwadratów z czego wyjdzie \(\displaystyle{ a^{2}+2ab+b^{2}}\) tak?

Nie sumę kwadratów, lecz kwadrat sumy.

[kubuss95]

wielkie dzięki, wyszedł poprawny wynik