Udowodnij że zachodzi tożsamość

Definicja. Postać wykładnicza i trygonometryczna. Zagadnienia związane z ciałem liczb zespolonych.
Olka42
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 73
Rejestracja: 15 paź 2014, o 10:56
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Zielonka
Podziękował: 10 razy

Udowodnij że zachodzi tożsamość

Post autor: Olka42 »

Udowodnij, że dla każdej liczby rzeczywistej \(\displaystyle{ x}\) i każdej liczby całkowitej dodatniej \(\displaystyle{ n}\) zachodzi tożsamość:
\(\displaystyle{ \frac{(1 + i\tg x) ^{n} }{(1 - i\tg x) ^{n} }=\frac{1 + i\tg nx}{1 - i\tg nx}}\)
Proszę o pomoc.
Ostatnio zmieniony 8 lis 2014, o 13:33 przez lukasz1804, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd. Całe wyrażenia matematyczne umieszczaj w tagach [latex] [/latex].
Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15685
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 195 razy
Pomógł: 5219 razy

Udowodnij że zachodzi tożsamość

Post autor: Premislav »

Pomnóż licznik i mianownik lewej strony przez \(\displaystyle{ \cos^{n}x}\), a następnie skorzystaj ze wzoru \(\displaystyle{ a ^{n}b ^{n}=(ab)^{n}}\), zależności tangensa od sinusa i cosinsa i z nieparzystości sinusa oraz parzystości cosinusa. Potęgowanie wykonaj z de Moivre'a, a następnie podziel licznik i mianownik przez \(\displaystyle{ \cos nx=\cos(-nx)}\).
Olka42
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 73
Rejestracja: 15 paź 2014, o 10:56
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Zielonka
Podziękował: 10 razy

Udowodnij że zachodzi tożsamość

Post autor: Olka42 »

Zgubiłam się przy parzystości sin i cos. Nie wiem jak ją wykorzystać i nie wiem co dalej.
Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15685
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 195 razy
Pomógł: 5219 razy

Udowodnij że zachodzi tożsamość

Post autor: Premislav »

To dalej, że \(\displaystyle{ \cos x-i\sin x=\cos(-x)+i\sin(-x)}\) i dalej de Moivre.
Olka42
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 73
Rejestracja: 15 paź 2014, o 10:56
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Zielonka
Podziękował: 10 razy

Udowodnij że zachodzi tożsamość

Post autor: Olka42 »

Już mam. Dzięki za pomoc
ODPOWIEDZ