Dowody liczb zespolonych.

[LipaMat]

Witam, proszę o pomoc przy kilku zadankach z liczb zespolonych.

1) Wykazać, że suma pierwiastków n-tego stopnia z jedynki jest równa zero.

2)Niech f będzie wielomianem o współczynnikach rzeczywistych czyli:
\(\displaystyle{ f(z) = a_{d}z^d + a_{d-1}z^{d-1} + ... + a_{1}z + a_{0}}\)
Gdzie \(\displaystyle{ \forall i \ a_i \in R,}\) niech \(\displaystyle{ z \in C}\)
Wykazać, że jeśli \(\displaystyle{ z}\) jest pierwiastkiem wielomian \(\displaystyle{ f}\), to \(\displaystyle{ \overline{z}}\) też jest pierwiastkiem.

3) Udowodnić, że jeżeli \(\displaystyle{ \epsilon_1 + \epsilon_2 + \epsilon_3 + ... + \epsilon_n}\) są różnymi pierwiastkami n-tego stopnia z jedynki to:

\(\displaystyle{ \epsilon_1 \cdot \epsilon_2 \cdot \epsilon_3 \cdot ... \cdot \epsilon_n = (-1)^{n+1}}\)


Dziękuję bardzo za wskazówki.

[yorgin]

Zadanie 1) oraz 3) są prostą konsekwencją wzorów Viete'a zastosowanych do wielomianu \(\displaystyle{ x^n-1}\). Alternatywnie możesz policzyć bezpośrednio - szukaj ciągów geometrycznych/arytmetycznych, które ułatwią rachunki.

Zadanie 2) sprowadza się do tego, że przy podanych założeniach zachodzi \(\displaystyle{ \overline{f(z)}=f(\overline{z})}\). Albo jeszcze inaczej - \(\displaystyle{ \overline{z^n}=\overline{z}^n}\). Spróbuj to przeliczyć, to nie jest trudne.

[LipaMat]

Dzięki bardzo, dwa pierwsze już ogarnąłem i chyba są dobrze, ale nadal trzeciego nie mogę ogarnąć, coś mi nie chodzi Czy mógłbyś może zrobić to zadanie chociaż cząstkowo?

[yorgin]

Trzecie wychodzi natychmiast ze wzorów Viete'a.

Jeżeli jednak nie chcesz Viete'a, zapisz \(\displaystyle{ \epsilon_i=\exp \frac{2\pi i}{n}}\) dla \(\displaystyle{ i=0,\ldots, n-1}\).

Wtedy

\(\displaystyle{ \prod\limits_{i=0}^{n-1}\epsilon_i=\exp\left(\sum\limits_{i=0}^{n-1}\frac{2\pi i}{n}\right)=\exp\left(\frac{2\pi}{n}\sum\limits_{i=0}^{n-1}i\right)=\ldots}\)