Forma trygonometryczna

[zamir4]

Witam.
Nie wiem czy to przez to, że uczę się już 6godzin z rzędu i najłatwiejsze równanie sprawia mi trudność, czy przez to, że jestem debilem. Anyway - będę ogromnie wdzięczny jak ktokolwiek mi powie, czy robie coś złego.
Równanie
\(\displaystyle{ (1-i) ^{4} \cdot (1+i \sqrt{3} )^{6}}\)
Postanowiłem rozbić na dwie części.
Więc zaczynam liczyć od:
\(\displaystyle{ (1-i) ^{4}}\)
\(\displaystyle{ r=\sqrt{2}}\)
\(\displaystyle{ \sin x = - \frac{ \sqrt{2} }{2}}\)
\(\displaystyle{ \cos x= - \frac{ \sqrt{2} }{2}}\)
Wychodzi na to, że jest to 4 ćwiartka, więc \(\displaystyle{ arg(z)= \frac{7\pi}{4}}\)
Z DeMoivre's :
\(\displaystyle{ 4(\cos 7\pi + i\sin 7\pi)}\)
A powinno wyjść \(\displaystyle{ -4}\) (z kalkulatora).
Czy ktoś mógłby mi powiedzieć, czy gdzieś popełniłem błąd?

Z góry bardzo dziękuję.

Pozdrawiam.

[yorgin]

\(\displaystyle{ \sin x}\) jest źle wyliczony. Wtedy też argument jest niepoprawny.

Przy okazji, \(\displaystyle{ 4(\cos 7\pi + i\sin 7\pi)=-4}\).

[zamir4]

Nie miałem pojęcia, że zły temat . Myślałem, że liczby zespolone to tutaj Przepraszam zatem.

\(\displaystyle{ \sin x = \frac{b}{r}}\)
\(\displaystyle{ \sin x = \frac{-1}{ \sqrt{2}}}\)
\(\displaystyle{ \sin x = - \frac{ \sqrt{2} }{2}}\)

Nie rozumiem zatem, dlaczego sinx jest zle policzony, oraz
\(\displaystyle{ 4(\cos 7\pi + i\sin 7\pi)=-4}\)

Bardzo dziękuję za odpowiedź.

Pozdrawiam

[yorgin]

Przepraszam... Ja dziś chyba nie myślę wcale. Oczywiście dobrze masz wszystko policzone. Ja nie wiem, dlaczego ubzdurałem sobie, że jest źle.

Dlaczego \(\displaystyle{ 4(\cos 7\pi + i\sin 7\pi)=-4}\) ? Wystarczy przecież policzyć wartości funkcji trygonometrycznych. I koniec.

[blade]

\(\displaystyle{ \sin x = - \frac{ \sqrt{2} }{2}}\)
\(\displaystyle{ \cos x= - \frac{ \sqrt{2} }{2}}\)
Wychodzi na to, że jest to 4 ćwiartka, więc \(\displaystyle{ arg(z)= \frac{7\pi}{4}}\)

a \(\displaystyle{ \cos}\) nie jest przypadkiem dodatni w czwartej ćwiartce?

PS: chyba przypadkowo dodałeś tam "-"

[zamir4]

yorgin, każdy ma czasem takie dni
blade, tak - teraz to mój błąd, chciałem sobie ułatwić prace, więc skopiowałem z sinusa, zapminając o minusie.

Wrzuciłem do kalkulatora dokładnie te dane i wychodzi inny wynik, podejrzewam, że przez 'i'.

Czy będzie jakiś prostszy sposób na obliczenie tego?
Spróbuję to ugryźć tak:
\(\displaystyle{ ((1-i) ^{2} ) ^{2}}\)
Pozdrawiam

EDIT: Oczywiście, ten sposób jest dużo szybszy

[blade]

Witam.
Równanie
\(\displaystyle{ (1-i) ^{4} \cdot (1+i \sqrt{3} )^{6}}\)
Postanowiłem rozbić na dwie części.
Więc zaczynam liczyć od:
\(\displaystyle{ (1-i) ^{4}}\)
\(\displaystyle{ r=\sqrt{2}}\)
\(\displaystyle{ \sin x = - \frac{ \sqrt{2} }{2}}\)
\(\displaystyle{ \cos x= - \frac{ \sqrt{2} }{2}}\)
Wychodzi na to, że jest to 4 ćwiartka, więc \(\displaystyle{ arg(z)= \frac{7\pi}{4}}\)
Z DeMoivre's :
\(\displaystyle{ 4(\cos 7\pi + i\sin 7\pi)}\)

\(\displaystyle{ 4(\cos 7\pi + i\sin 7\pi)}\) z tego ile wychodzi ?
później zrób to samo z drugim nawiasem.

[zamir4]

Własnie mam największy problem, ażeby obliczyć wartość środkową.

Przykładowo, dochodzę teraz do zadania:
\(\displaystyle{ (1+i) ^{22}}\)

Więc tradycyjnie.
\(\displaystyle{ \sqrt{2} =r}\)
\(\displaystyle{ \arg(z) = \frac{\pi}{4}}\)

\(\displaystyle{ 2048 \left( \cos \left( \frac{\pi}{4} \cdot 22 \right) + \sin \left( \frac{\pi}{4} \cdot 22 \right) \cdot i \right)}\)

No i na takim czymś się zawieszam, przy większości tego typu zadań.
Czy robię coś źle?

[blade]

raczej : (nie stosuj * jako mnożenia tylko "cdot"w latexie)
\(\displaystyle{ 2048\left( \cos (\frac{\pi}{4} \cdot 22) + i\sin(\frac{\pi}{4} \cdot 22)\right)}\)
Wszystko do tej pory jest dobrze
później masz :\(\displaystyle{ 2048\left( \cos \frac{22\pi}{4} + i\sin\frac{22\pi}{4}\right)}\)
co dalej daje nam : \(\displaystyle{ 2048\left( \cos (6\pi- \frac {\pi}{2}) + i\sin (6\pi-\frac{\pi}{2})\right)}\)
Wiesz co dalej ?

[zamir4]

Dzięki wielkie,
sprawdźmy.

\(\displaystyle{ 2048 (\cos (6\pi - 0) + i\sin(6\pi - 1))}\)

Niestety, nie wiem co dalej, z racji późnej godziny, moja dedukcja ostro spada.
Pierwsze co zrobię jak wstanę to spróbuje coś wykombinować, aczkolwiek wątpie, ażebym na to wpadł.

Jeszcze raz dziękuję !

[blade]

Niestety nie o to mi chodziło, postaram się wytłumaczyć jak wrócę z zajęć.

@Edit
Trzeba zamienić to :
\(\displaystyle{ 2048\left( \cos \left( 6\pi- \frac {\pi}{2} \right) + i\sin \left( 6\pi-\frac{\pi}{2} \right) \right)}\)
na :
\(\displaystyle{ 2048\left( \cos \left( - \frac {\pi}{2} \right) + i\sin \left( -\frac{\pi}{2} \right) \right)}\) zauważ, że \(\displaystyle{ 6\pi}\) zredukuje się do 0, zostaje \(\displaystyle{ - \frac{\pi}{2}}\) teraz wiesz co z tym zrobić? Nie chcę tego rozwiązywać za Ciebie, bo wtedy nie zrozumiesz zadania.
pamiętaj, że \(\displaystyle{ \cos(-x)=\cos(x)}\), a \(\displaystyle{ \sin(-x) = -\sin(x)}\)
Teraz jest zrozumiałe? Spróbuj to dokończyć a później wróć do przykładu z Twojego 1 posta w tym temacie i rozwiąż sam do końca i wstaw rozwiązanie, to zerknę później.