Wzór de Moivre'a i pierwiastek stopnia n

[adam1993]

Cześć,
Uczę się właśnie wykonywać działania na liczbach zespolonych i napotykam na kilka problemów. Mianowicie, gdy liczba zespolona, którą mam podnieść do potęgi lub wyciągnąć z niej pierwiastek zapisana jest w postaci ułamka, to zakopuję się w obliczeniach i nie potrafię z tego wybrnąć.
Wygląda to tak:
Potęga:
\(\displaystyle{ (\frac{\sqrt3+i}{1-i})^{30}}\) Mnożę to przez sprzężenie i dostaję coś takiego:
\(\displaystyle{ \frac{\sqrt{3}+\sqrt{3}i+i-1}{2}=\frac{\sqrt{3}-1+\sqrt{3}i+i}{2}}\)
Liczę moduł:
\(\displaystyle{ |z|=\sqrt({\frac{\sqrt{3}-1}{2})^{2}+({\frac{\sqrt{3}+1}{2})^{2}}=3}\)
\(\displaystyle{ \cos\varphi=\frac{\sqrt{3}-1}{6}}\)
\(\displaystyle{ \sin\varphi=\frac{\sqrt{3}+1}{6}}\)
I tu mam problem, bo takich kątów w tablicach nie zjadę. Gdzie robię błąd?
Pierwiastek:
\(\displaystyle{ \sqrt[4]{-\frac{18}{1+i\sqrt{3}}}}\)
Po wymnożeniu przez sprzężenie otrzymuję:
\(\displaystyle{ -9+9\sqrt{3}i\\
|z|=18\\
\cos\varphi=-\frac{1}{2}
\sin\varphi=\frac{\sqrt{3}}{2}}\)
Czyli mam kąt \(\displaystyle{ \frac{2}{3}\pi}\)
\(\displaystyle{ z_{0}=\sqrt[4]{18}(\cos\frac{\frac{\pi}{3}}{4}+i\sin\frac{\frac{\pi}{3}}{4})\\
z_{0}=\sqrt[4]{18}(\cos\frac{\pi}{12}+i\\cos\frac{\pi}{12})}\)
Obliczyłem kąt 15 stopni
\(\displaystyle{ \cos=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4} \sin=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}}\)
ale nie potrafię wymnożyć tego sensownie przez \(\displaystyle{ \sqrt[4]{18}}\)

Jak to ugryźć? Pozdrawiam

[kalwi]

\(\displaystyle{ \left( \frac{\sqrt3+i}{1-i}\right) ^{30}= \frac{\left( \sqrt3+i\right)^{30} }{\left( 1-i\right)^{30} }= \frac{2^{30}\left( \cos\left( 30\varphi\right)+i\sin\left( 30\varphi\right) \right) }{2^{15}\left( \cos\left( 30\theta\right)+i\sin\left( 30\theta\right)\right) }}\)

[adam1993]

Po wyliczeniu wyszło mi:
\(\displaystyle{ \frac{(-2)^{30}}{(2i)^{15}}=(-2i)^{15}}\)
w odpowiedziach mam \(\displaystyle{ 2^{15}}\)
Gdzie podziało się i i znak minus? Przecież i^2=-1 a tu mam i^15 czyli powinno zostać i.

W pierwiastkowaniu chciałem postąpić analogicznie i podzielić pierwiastek na dwie liczby zespolone ale utknąłem w mianowniku:
\(\displaystyle{ w_{0}=\sqrt[4]{2} \left( \cos\frac{\frac{\pi}{3}}{4}+i\sin\frac{\frac{\pi}{3}}{4} \right) =\sqrt[4]{2} \left( \cos\frac{\pi}{12}+i\sin\frac{\pi}{12} \right) =\sqrt[4]{2} \left( \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}+\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4} \right)}\)
Nie mam pojęcia jak to wymnożyć.

[Premislav]

Trochę źle do tego podszedłeś i to zwiększa prawdopodobieństwo błędu rachunkowego. Mnożysz argument kątowy z tego de Moivre'a, wychodzi \(\displaystyle{ 5\pi}\), to redukujesz wielokrotności \(\displaystyle{ 2\pi}\) (i zostaje Ci wtedy \(\displaystyle{ \pi)}\) zamiast się bawić w takie rozpiski jak w poście wyżej. W mianowniku tak samo postępujesz, to wychodzi bodaj argument kątowy równy \(\displaystyle{ -\frac{30\pi}{4}}\), co po zredukowaniu modulo \(\displaystyle{ 2\pi}\) daje \(\displaystyle{ \frac{2\pi}{4}= \frac{\pi}{2}}\) - korzystamy z okresowości sinusa i cosinusa). I dalej powinno być dużo prościej, przecież nawet zasugerował to już kalwi.