Kilka "zespolonych" problemów.

[LipaMat]

Witam, mam pewne problemy z niektórymi zadaniami. W kilku przypadkach już coś zacząłem robić, w niektórych nie rozumiem metodyki wykonywania zadań. Za każdą podpowiedź/rozwiązanie/wyjaśnienie dziękuję.

1)
Nie mam pojęcia, jak wykonuje się zadania z interpretacją geometryczną argumentu. Kiedy jest coś takiego \(\displaystyle{ Arg(z) \le \pi}\) jeszcze jestem w stanie zrozumieć, gdy podstawię \(\displaystyle{ z = a + bi}\), ale gdy jest coś w stylu \(\displaystyle{ Arg(z+2-i) = \pi}\) to nie mam zielonego pojęcia, jak do tego podejść, więc prosiłbym o jakąś metodykę wykonywania zadań.

2)Udowodnić, że dla każdej liczby zespolonej zachodzi co najmniej jedna z poniższych nierówności:
\(\displaystyle{ \left| z+1\right| \ge \frac{1}{\sqrt2}}\) - i to zrobiłem, bo wychodzi równanie okręgu
\(\displaystyle{ \left| z^2 +1\right| \ge 1}\) - tutaj już mam pewien problem, bo oczywiście liczba zespolona do podniesiona do kwadratu może dać liczbę ujemną i teraz nie wiem, czy mam to robić na przypadki (i jeżeli tak to jak), czy innym sposobem?

3) Równania:
- \(\displaystyle{ z^3 = \overline {z}}\) - przemnożyłem przez \(\displaystyle{ z}\) a po kilku przekształceniach otrzymałem \(\displaystyle{ z=\sqrt{\left| z\right|}}\) ale tutaj chyba coś nie gra
- \(\displaystyle{ (\left| z\right|)^2 \cdot (\overline{z})^5 = z}\). Przekształciłem korzystając z własności modułu do kwadratu i teraz nie wiem czy mogę skrócić \(\displaystyle{ z}\), a dokładnie czy nie stracę pierwiastka, bo wtedy wynika, że \(\displaystyle{ \overline{z}=\sqrt[6]{1}}\) i czy to jest poprawne?

4) Naszkicować na płaszczyźnie zespolonej:
- \(\displaystyle{ (\left| z\right|)^2 \cdot \overline{z} = z^3}\) No i tutaj mam problem znowu czy mogę skracać \(\displaystyle{ z}\) i wtedy wychodzi, że odpowiedzią jest \(\displaystyle{ R}\)
- \(\displaystyle{ Im(z^6) < 0}\) - tutaj coś robiłem, ale kompletnie nic nie wychodziło. Nie mam pomysłu.
- \(\displaystyle{ z^4+ z^3+ z^2+ z+ 1 = 0}\) tutaj kombinowałem coś z szeregiem geometrycznym, ale nie jestem pewien czy to dobra metoda.
- \(\displaystyle{ \left| \frac{z-1}{z+1}\right|=2}\). Tutaj zamieniam \(\displaystyle{ z=a+bi}\) i po przekształceniach wychodzi \(\displaystyle{ 3a^2 = -3b^2 - 10b- 3}\) no ale to chyba nic mi nie daje.

5) Znaleźć wszystkie liczby zespolone \(\displaystyle{ z}\) takie, że \(\displaystyle{ \left| z\right|=1}\) oraz
\(\displaystyle{ \left| \frac{z}{\overline{z}} + \frac{\overline{z}}{z} = 1\right|}\) Korzystając z warunku i innych własności wychodzi mi funkcja \(\displaystyle{ y=\sqrt{a^2-\frac12}}\) no ale nie jestem tego pewny.

6) Pytanie: W których przypadkach gdy mamy równanie i jakiś wyszukany pierwiastek, to kolejnym pierwiastkiem też jest liczba sprzężona do niej. Kiedy to zachodzi i jakie są wyjątki.

7) \(\displaystyle{ \sqrt{2} \le \left| 1-z\right|+\left| 1+z^2\right| \le 4}\) Próbowałem różnych metod, z zamianą \(\displaystyle{ z=a+bi}\) lub z zamianą na postać trygonometryczną, ale za każdym razem dochodziłem do momentu, gdzie dana nierówność była wręcz niewykonalna.

Dziękuję za każde spojrzenie na przykłady i pytania oraz za ewentualne podpowiedzi/rozwiązania.

[Poszukujaca]

Dokładnie takie przykłady zadań jakie podałeś są świetnie wytłumaczone w książce Skoczylasa. ALgebra liniowa - przykłady i zadania". Tylko nie pamiętam czy w pierwszej czy w drugiej części tejże pozycji. Polecam się w nią zaopatrzyć, gdyż jest to nieoceniona pomoc w nauce algebry.

Może pokaż, co udało mi się już rozwiązać?

[LipaMat]

Dzięki bardzo, skoczę dzisiaj do biblioteki i ogarnę wszystkie podobne zadania do tych.