Liczby zespolone na płaszczyźnie

Definicja. Postać wykładnicza i trygonometryczna. Zagadnienia związane z ciałem liczb zespolonych.
bananaking
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5
Rejestracja: 22 lis 2012, o 17:33
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 1 raz

Liczby zespolone na płaszczyźnie

Post autor: bananaking »

Dzień dobry, nie mam pojęcia jak zabrać się za dwa przykłady poniżej.

\(\displaystyle{ 0 \le \arg(1+iz) \le \frac{ \pi }{2}}\)
\(\displaystyle{ \Im( z^{4})<0}\)

W przykładzie pierwszym rozwiązując analogicznie do jakiegoś przykładu doszedłem do

\(\displaystyle{ \arg(1+iz) = \arg(w)}\)
\(\displaystyle{ w=(iz+1)=i(z-i)=z-i}\)

aczkolwiek czy to poprawnie jest to pewny nie jestem
Wychodziłby wtedy, że rozwiązaniem będzie obszar w I ćwiartce układu współrzędnych \(\displaystyle{ y \ge 1}\) ?

Proszę wskazówki i z góry dziękuję pozdrawiam.
Awatar użytkownika
Barbara777
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 316
Rejestracja: 13 maja 2013, o 18:28
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Gówniak k. Bukowiny
Podziękował: 16 razy
Pomógł: 115 razy

Liczby zespolone na płaszczyźnie

Post autor: Barbara777 »

Dobra pora doby!
1. Zadanko jest o tyle latwe, ze warunek zadany przez argument opisuje (nieograniczony) "prostokat" - piewsza cwiartke ukladu wspolrzednych. Czyli wszystkie liczb zespolone, ktorych zarowno czesc rzeczywista, jak i urojona sa nieujemne.
Oznaczmy \(\displaystyle{ z=x+iy}\)

\(\displaystyle{ \arg(1+i(x+iy))= \arg(1-y+ix)}\)

Dostajemy

\(\displaystyle{ 1-y\geq 0}\) i \(\displaystyle{ x\geq 0}\)

Czyli pas

\(\displaystyle{ \textrm{Re}\,z \geq 0~~~~ \textrm{Im}\;z \leq 1}\)

2. Przy tych samych oznaczeniach; z trojkata Pascala latwo dostajemy

\(\displaystyle{ \textrm{Im}\, z^4 = 4x^3y-4xy^3=4xy(x^2-y^2)}\)

i toto ma byc ujemne, rozwazamy kilka przypadkow i po zabawie, wychodzi przyjemna figurka.
Awatar użytkownika
VGkrzysiek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 55
Rejestracja: 25 paź 2012, o 13:27
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kłodzko
Podziękował: 3 razy

Liczby zespolone na płaszczyźnie

Post autor: VGkrzysiek »

Witam, co do 1 przykładu:
dokładniej będzie to czwarta ćwiartka przesunięta o wektor \(\displaystyle{ \left( 0,1\right)}\) z jej brzegiem ale bez punktu \(\displaystyle{ \left( 0,1\right)}\).
ODPOWIEDZ