Moduł liczb zespolonych.

[Drelson]

Niech \(\displaystyle{ z_{1}, z_{2}, z_{3}}\) bedą liczbami zespolonumi takimi, że \(\displaystyle{ \left| z_{1}\right| = \left| z_{2}\right| = \left| z_{3}\right| = r}\) \(\displaystyle{ > 0}\) oraz \(\displaystyle{ z_{1} + z_{2} + z_{3} \neq 0}\) Udowodnij że,
\(\displaystyle{ \left| \frac{z_{1}z_{2} + z_{1}z_{3} + z_{2}z_{3}}{z_{1} + z_{2} + z_{3}} \right| = r}\)

[Poszukujaca]

Korzystając z założenia, spróbuj po prostu rozpisać inaczej lewą stronę, tak by otrzymać prawą.

[pyzol]

Po wprowadzeniu postaci trygonometrycznej do udowodnienia pozostanie Ci mniej więcej taka własność:
\(\displaystyle{ \left|\frac{\cos(\alpha+\beta)+\cos(\beta+\gamma)+\cos(\alpha+\gama)+i(\sin(\alpha+\beta)+...) }{\cos\alpha+\cos\beta +\cos \gamma+i(\sin\alpha+...)} \right| =1}\)
Po wyliczeniu modułów licznika i mianownika i skorzystaniu ze wzoru na cosinus różnicy kątów oraz jedynki trygonometrycznej, powinieneś w liczniku i mianowniku otrzymać coś w tym stylu:
\(\displaystyle{ \sqrt{3+2(\cos(\alpha-\beta)+\cos(\beta-\gamma)+\cos(\gamma-\alpha))}}\)
NIe przeliczałem dokładnie wszystkiego, także mogą być błędy. Jednak kierując się wskazówkami powinieneś dojść do celu.

[Qń]

\(\displaystyle{ z= \frac{z_{1}z_{2} + z_{2}z_{3} + z_{3}z_{1}}{z_{1} + z_{2} + z_{3}} = \\ \\ =\frac{(z_{1}z_{2} + z_{2}z_{3} + z_{3}z_{1})\overline{z_1z_2z_3}}{(z_{1} + z_{2} + z_{3})\overline{z_1z_2z_3}} = \\ \\ =\frac{r^4(\overline{z_1}+\overline{z_2}+\overline{z_3})}{r^2(\overline{z_1z_2}+\overline{z_2z_3}+\overline{z_3z_1})}=r^2\cdot \frac{1}{\overline{z}}}\)
skąd łatwo wynika teza.

Q.