Niech \(\displaystyle{ z_{1}}\) , \(\displaystyle{ z_{2}}\) ,... \(\displaystyle{ z_{n}}\) będą liczbami zespolonymi o takim samym dodatnim module. Udowodnij, że
\(\displaystyle{ \mathcal{R } \left( \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} \frac{ z_{i} }{ z_{j} } \right) = 0 \Leftrightarrow \sum_{i=1}^{n} z_{i} = 0}\)
tam gdzie jest R miałem na myśli część Re
Udowodnić równość
-
Qń
- Użytkownik
- Posty: 9833
- Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 90 razy
- Pomógł: 2632 razy
Udowodnić równość
Wskazówka:
\(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} \frac{ z_{i} }{ z_{j} }= \sum_{i=1}^{n} z_{i} \sum_{j=1}^{n} \frac{ 1}{ z_{j} }= \left( \sum_{i=1}^{n} z_{i}\right) \left( \sum_{j=1}^{n} \frac{ 1}{ z_{j} }\right)}\)
oraz \(\displaystyle{ \frac 1z = \frac{\overline{z}}{|z|^2}}\).
Q.
\(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} \frac{ z_{i} }{ z_{j} }= \sum_{i=1}^{n} z_{i} \sum_{j=1}^{n} \frac{ 1}{ z_{j} }= \left( \sum_{i=1}^{n} z_{i}\right) \left( \sum_{j=1}^{n} \frac{ 1}{ z_{j} }\right)}\)
oraz \(\displaystyle{ \frac 1z = \frac{\overline{z}}{|z|^2}}\).
Q.