Potęga i równania liczb zespolonych

Definicja. Postać wykładnicza i trygonometryczna. Zagadnienia związane z ciałem liczb zespolonych.
Xerdox
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5
Rejestracja: 14 maja 2013, o 20:19
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz

Potęga i równania liczb zespolonych

Post autor: Xerdox »

Przygotowuję się do kartkówki z liczb zespolonych i napotkałem się z trzema przykładami, których nie potrafię rozwiązać.

1. Obliczyć korzystając ze wzoru de Moivre'a
\(\displaystyle{ (\sqrt[5]{2} - i\sqrt[5]{2})^{15}}\)

2. W zbiore liczb zespolonych rozwiązać równania
\(\displaystyle{ z^{6} = (1 - i)^{12}}\)
\(\displaystyle{ (z-1)^{4} = (z + 1)^{4}}\)

1.
Obliczyłem z tg wartość kąta, jaką nie potrzebujemy, by odjąć później od całości i otrzymać potrzebny argument.

\(\displaystyle{ \tg \alpha = \frac{ \sqrt[5]{2} }{ \sqrt[5]{2} } = 1 \\
arg(z) = 2\pi - \frac{\pi}{4} = \frac{7\pi}{4}

(\left| z\right|)^{15}(\cos (15 \cdot \frac{7\pi}{4}) + i\sin (15 \cdot \frac{7\pi}{4})) \\
(\left| z\right|)^{15}(\cos (\frac{105\pi}{4}) + i\sin (\frac{105\pi}{4})) \\
(\left| z\right|)^{15}(\cos (26\pi \cdot \frac{\pi}{4}) + i\sin (26\pi \cdot \frac{\pi}{4})) \\
(\left| z\right|)^{15}(\frac{\sqrt{2}}{2} + i\frac{\sqrt{2}}{2})}\)


Jeżeli wszystko dobrze policzyłem, to tutaj pownienem po prostu pomnożyć nawiasy przez moduł, ale właśnie nie wiem za bardzo jak odpowiednio ten moduł policzyć. Znam wzór
\(\displaystyle{ \left| z\right| = \sqrt{ (\sqrt[5]{2}) ^{2} + (\sqrt[5]{2}) ^{2} }}\)

2.
Tutaj poprosiłbym o jakieś nakierowanie, jak się za to zabrać :)

Pozdrawiam
miodzio1988

Potęga i równania liczb zespolonych

Post autor: miodzio1988 »

zad 2

Na jedną stronę i wzor skrocoengo mnozenia
Xerdox
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5
Rejestracja: 14 maja 2013, o 20:19
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz

Potęga i równania liczb zespolonych

Post autor: Xerdox »

Czy zadanie 2 może zostać policzone w taki sposób?
\(\displaystyle{ a) z^{6} = (1 - i)^{12} / \sqrt[6]{} \\
z = (1 - i)^{2} \\
z = -2i \\

b) (z-1)^{4} = (z+1)^{4} / \sqrt[4]{} \\
z - 1 = z + 1 \\
2z = 2 \\
z = 1}\)
miodzio1988

Potęga i równania liczb zespolonych

Post autor: miodzio1988 »

zupelnie nie, trcisz rozwiazania w ten sposob
Awatar użytkownika
kropka+
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4389
Rejestracja: 16 wrz 2010, o 14:54
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Łódź
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 787 razy

Potęga i równania liczb zespolonych

Post autor: kropka+ »

1.
\(\displaystyle{ \left| z\right| = \sqrt{ (\sqrt[5]{2}) ^{2} + (\sqrt[5]{2}) ^{2} }=2 ^{0,7}}\)
ODPOWIEDZ