Pierwiastki zespolone

[Matiks21]

Witam, sformułowałem sobie pytanie.

Jak wygląda zbiór wszystkich pierwiastków zespolonych z jedynki? Czy dla każdego punktu na okręgu jednostkowym istnieje pierwiastek zespolony z jedynki? Czy może jest to podzbior właściwy okręgu jednostkowego na płaszczyźnie zespolonej.

Proszę o podpowiedź

[yorgin]

Łuk między tym punktem a punktem \(\displaystyle{ \left(1, \ 0 \right)}\) musi być współmierny z \(\displaystyle{ 2\pi}\).

[Matiks21]

Jak to wykazać?

[Ponewor]

Spróbuj posłużyć się interpretacją geometryczną - pierwiastki \(\displaystyle{ n}\)-tego stopnia z jedynki, to na płaszczyźnie zespolonej wierzchołki \(\displaystyle{ n}\)-kąta foremnego wpisanego w okrąg jednostkowy.

[Matiks21]

Czyli wynika z tego ze istnieją punkty na okręgu jednostkowym które nie można interpretowac jako pierwiastki zespolone z jedynki?

[Ponewor]

Tak. No bo weźmy jakiś taki punkt i powiedzmy, że jest on wierzchołkiem \(\displaystyle{ n}\)-kąta foremnego - dowolne dwa sąsiednie punkty wielokąta formnego wyznaczają \(\displaystyle{ \frac{1}{n}}\)-tą łuku okręgu opisanego na nim, więc punkty \(\displaystyle{ \left(1, \ 0\right)}\) (-bo ten jest pierwiastkiem dowolnego stopnia) i nasz wybrany muszą wycinać jakąś wymierną część całego obwodu.

[bartek118]

Można posłużyć się także argumentem teoriomnogościowym. Mamy \(\displaystyle{ |\mathbb{S}^1| = \mathfrak{c}}\) podczas, gdy \(\displaystyle{ \{ z \ : \ \exists_k \ z^k = 1 \}}\) jest przeliczalny. Oznacza to, że w sensie teorii mnogości, punktów które nie mogą być pierwiastkami z jedynki jest bardzo dużo, dokładnie tyle co liczb rzeczywistych.

[Matiks21]

wiecie może czy pierwiastki zespolone wyznaczają jakiś wzorzec na tym okręgu czy jest to "biały szum"?

Kiedyś była zażarta dyskusja miedzy istnieniem nieskonczonosci aktualnej we wszechswiecie a jej nieistnieniem.

Niby mamy liczby naturalne, ale jak można ogarnąć je zarazem by wiedziec ze to nieskonczonosc jako całość?
Przed Cantorem rzecz ta nie była taka oczywista.

Pewien filozof teista - Mikołaj z Kuzy, powiedział ze przez powielanie wierzchołków w wielokącie foremnym w nieskończoność uzyskamy koło. Zatem koło jest dowodem istnienia nieskończoności aktualnej.

Teraz skoro wiemy że przez powielanie wierzchołków w wielokącie foremnym nie uzyskujemy koła (dowód tego tematu) to argument tego filozofa był błędny.

Choć nie znaczy to że teza była błędna.

Taka ciekawostka. Po to była mi właśnie ta wiedza

Tak czy inaczej dalej ciekawi mnie odpowiedź na pytanie o wzorzec.

[Ponewor]

Dla ludzkiego oka to one pokryją cały okrąg. To tak jak z zaznaczeniem wszystkich liczb wymiernych na osi liczbowej - dla ludzkiego oka cała zostanie zamalowana, ale w istocie znacznie więcej punktów zostanie niezamalowanych.

[Dasio11]

Analogia jest dokładna: zbiór pierwiastków z jedynki na okręgu jednostkowym to

\(\displaystyle{ \{ \cos (\varphi \cdot 2 \pi) + i \sin (\varphi \cdot 2 \pi) : \varphi \in \QQ \}.}\)