Równanie zespolone z modułem

[Macck]

\(\displaystyle{ \left| i \cdot z+2\right| = \left| i \cdot z-2i\right|}\)

Czy mógłby mi ktoś pomóc krok po kroku zrozumieć co tu trzeba robić po kolei ?
Serdecznie dziękuję

[bartek118]

Zarówno lewą i prawą stronę można nieco przekształcić:
\(\displaystyle{ |iz+2|=|-z+2i| = |z-2i|}\)
oraz
\(\displaystyle{ |iz-2i| = |z-2|}\)
Stąd
\(\displaystyle{ |z-2i| = |z-2|}\)
Czyli jest to symetralna odcinka \(\displaystyle{ [2,2i]}\), czyli prosta \(\displaystyle{ \Re (z) = \Im (z)}\).

[Macck]

Troszkę właśnie podglądałem na wolframie i nie wiem skąd się biorą te znikające i pojawiające się i w różnych miejscach :<
Np. dlaczego w 1 przy 2 pojawia się i, a przy drugim znika ? I tak dalej...

[bartek118]

\(\displaystyle{ |iz+2| = 1 \cdot |iz+2| = |i| \cdot |iz+2| = |i^2 z + 2i| = |-z + 2i| = 1 \cdot |-z+2i| = |(-1)| \cdot |-z+2i| = |-(-z)-2i| = |z-2i|}\)

[Macck]

Okej międzyczasie jeszcze udało mi się to porozpisywać i już wiem o co chodzi.
Ale nadal zagadką jest dla mnie efekt końcowy czyli część z "symetralną" . Strasznie opornie mi idą te liczby zespolone ale może z odrobiną łopatologii jakoś pójdzie.

[bartek118]

OK, to geometrycznie - mam równość:
\(\displaystyle{ |z-a| = |z-b|}\) - co ona oznacza? Oznacza tyle, że odległość punktu \(\displaystyle{ z}\) od \(\displaystyle{ a}\) jest taka sama, jak od punktu \(\displaystyle{ b}\), czyli rozwiązanie to wszystkie punktu \(\displaystyle{ z}\) równoodległe od punktu \(\displaystyle{ a}\) i punktu \(\displaystyle{ b}\), a takie punkty tworzą właśnie symetralną odcinka \(\displaystyle{ [a,b]}\).

[Macck]

Okej teraz widzę skąd się to wzięło. Muszę znaleźć jakieś bardziej elementarne zadania bo kolejny przykład już mi nic nie mówi
\(\displaystyle{ \left| -2 \cdot z\right| =\left| 4\cdot z -4\right|}\)
przekształciłem nieco do postaci
\(\displaystyle{ 2\left| z\right| =\left| 4\cdot z -4\right|}\)

a z tego wszystkiego ma wyjść okrąg o środku \(\displaystyle{ S\left( \frac{4}{3} ,0\right)}\)
i promieniu \(\displaystyle{ r= \frac{2}{3}}\)

Ale jak, to nie mam pojęcia. A to są kolejne zadania z listy wykładowcy