postac trygonometryczna - gdzie popelniam blad ?

[Lame]

Wyznacz postac trygonometryczna liczby zespolonej:

\(\displaystyle{ z=- \sqrt{3} -i}\)

Moj wynik to:
\(\displaystyle{ 2 \left( \cos \frac{ \pi }{6}+i\sin \frac{ \pi }{6} \right)}\)

A wynik z odpowiedzi:
\(\displaystyle{ 2 \left( \cos \left( \pi + \frac{ \pi }{6} \right) +i\sin \left( \pi + \frac{ \pi }{6} \right)}\)

Skad bierze sie to "dodatkowe" pi ?

[szw1710]

A dlaczego masz tam \(\displaystyle{ \frac{\pi}{6}}\)? Spróbuj mi to wytłumaczyć. Na razie nie przesądzam czy masz dobrze, czy źle - oczywiście wiem, jak jest

[Lame]

\(\displaystyle{ \cos \alpha = \frac{- \sqrt{3} }{2},
\sin \alpha = -\frac{1}{2}}\)


Wiec kat= \(\displaystyle{ \frac{\pi}{6}}\)

[Premislav]

To uświadom sobie, że w pierwszej ćwiartce cosinus jest dodatni.
Poza tym źle podałeś \(\displaystyle{ \sin \alpha}\).
Podpowiedź: \(\displaystyle{ -\cos \alpha=\cos(\pi-\alpha).}\)
PS Tak teraz jeszcze patrzę, że przy takiej podpowiedzi dobrze jest spojrzeć na to, jak się przedstawia wykres cosinusa (podpowiem, że jakaś symetria osiowa względem prostej prostopadłej do \(\displaystyle{ OX}\) przechodzącej przez punkt \(\displaystyle{ (\pi,-1)}\) może się nasunąć).
Może ogólniej: masz \(\displaystyle{ \cos x=-\cos b, \sin x=-\sin b}\) (gdzie \(\displaystyle{ \sin b}\) to dobrze znana wartość). Druga część łatwo idzie z nieparzystości sinusa: \(\displaystyle{ x=-b+2k\pi \vee x=\pi-(-b)+2k\pi, k \in \ZZ}\). A pierwsza: \(\displaystyle{ \cos x=-\cos b}\), idzie dzięki "nieparzystości" względem \(\displaystyle{ \frac{\pi}{2}}\) (tj. \(\displaystyle{ f(x)=\cos( \frac{\pi}{2}+x)}\) jest funkcją nieparzystą).

[Lame]

Juz poprawilem tego sinusa
W takim razie, jaki jest ogolny schemat roziwazywania takich zadan ?
Od momentu kiedy mam juz obliczone wartosci sin i cos ?
Ustalam cwiartke ukladu, w tym przypadku bedzie to 3 cwiartka, co dalej ?

[Premislav]

Już trochę wyżej edytowałem, ale przybliżę dokładniej:
dostałeś \(\displaystyle{ \sin x=-\sin b, \cos x=-\cos b}\), gdzie \(\displaystyle{ b}\) i jego funkcje trygonometryczne dobrze znamy. No to sinus łatwo leci z nieparzystości (\(\displaystyle{ \sin x=-\sin(-x)}\)):
\(\displaystyle{ x=-b+2k\pi \vee x=\pi-(-b)+2k\pi}\).
A cosinus z nieparzystości przesuniętego o \(\displaystyle{ \frac{\pi}{2}}\) cosinusa (tj. funkcji \(\displaystyle{ g(x)=\cos\left(x+ \frac{\pi}{2}\right)}\). Masz \(\displaystyle{ -\cos x=-\cos \left( \frac{\pi}{2}+x- \frac{\pi}{2}\right)=\cos\left( \frac{\pi}{2}+ \frac{\pi}{2}-x\right)=\cos(\pi-x)}\) (i dalej stosujesz to schematyczne przejście: skoro \(\displaystyle{ \cos y=\cos b,}\)to \(\displaystyle{ y=b+2k\pi \vee y=-b+2k\pi, k \in \ZZ}\)). Następnie patrzysz, jakie \(\displaystyle{ k}\) całkowite dobrać, by uzyskać odpowiedni kąt, tj. taki, dla którego zarówno sinus jak i cosinus będzie taki, jak chcesz (tutaj \(\displaystyle{ k=1}\) bodajże, ale za szybko liczyłem, więc sprawdź).
Jeśli nie rozumiesz, pisz, nie byłem dobry w tłumaczeniach, więc jak zamotałem, to odkręcę.
PS Jak wolisz myśleć ćwiartkami, zamiast się bawić w nieparzystości jakichś przesuniętych wykresów, to też tak można, być może to wygodniejsze:
patrzysz, czy sinus jest dodatni, czy nie, to samo dla cosinusa i już masz ćwiartkę. Następnie przypominasz sobie, że okres gł. cosinusa i sinusa to \(\displaystyle{ 2\pi}\). Przypominasz sobie wzory redukcyjne, że sinus \(\displaystyle{ x}\) to to samo, co sinus \(\displaystyle{ \pi-x}\), że cosinus \(\displaystyle{ x}\) to...
I działasz.

[Lame]

Juz wszystko rozumiem
Dzieki wielkie za poswiecony czas.
Pozdrawiam.