Znaleźć Wszystkie liczby zespolone

[Drelson]

Proszę o pomoc.
Znaleźć Wszystkie liczby zespolone z dla których \(\displaystyle{ \frac{1+z+ z^{2} }{1-z+ z^{2}} \in \RR}\).

[miodzio1988]

standardowo \(\displaystyle{ z=a+bi}\)

[LipaMat]

Liczba zespolona jest rzeczywista wtedy, kiedy zachodzi równość \(\displaystyle{ z = \overline{z}}\)

I teraz po prostu przyrównujesz:
\(\displaystyle{ \frac{1+z+z^2}{1-z+z^2} = \frac{1 + \overline{z} + \overline{z^2}}{1 - \overline{z} + \overline{z^2}}}\)

Teraz mnożysz "na krzyż" i wykorzystujesz własności sprzężeń i lecisz z tematem. Wydaje mi się, że jest to rozwiązanie prowadzące do dobrego wyniku.

[Qń]

Chyba mniej rachunków:

Oczywiście jeśli \(\displaystyle{ z\in\RR}\) to jest ok. Poszukajmy więc rozwiązań różnych od rzeczywistych.
Jeśli \(\displaystyle{ \frac{1+z+ z^{2} }{1-z+ z^{2}} \in \RR}\), to z uwagi na \(\displaystyle{ \frac{1+z+ z^{2} }{1-z+ z^{2}}=1+2\cdot \frac{z}{1+z+z^2}}\) dostajemy, że musi być \(\displaystyle{ \frac{z}{1+z+z^2}\in \RR}\). Ale skoro jest to liczba różna od zera, to rzeczywista musi być także jej odwrotność \(\displaystyle{ \frac{1+z+z^2}{z}}\), a stąd oczywiście \(\displaystyle{ z+ \frac 1z \in \RR}\).

Musi być więc:
\(\displaystyle{ z+\frac 1z = \overline{z+ \frac 1z}}\)
czyli kolejno równoważnie:
\(\displaystyle{ z+\frac 1z = \overline{z}+ \frac {1}{\overline{z}}\\
z- \overline{z} = \frac{z-\overline{z}}{|z|^2}}\).
Skoro \(\displaystyle{ z}\) nie jest rzeczywiste, to \(\displaystyle{ z-\overline{z}\neq 0}\), mamy więc stąd:
\(\displaystyle{ 1=\frac{1}{|z|^2}}\)
czyli
\(\displaystyle{ |z|=1}\).

Q.

[mol_ksiazkowy]

czyli \(\displaystyle{ |z|=1}\).

no i \(\displaystyle{ z \neq \frac{1 \pm \sqrt{3}i}{2}}\)