Proszę o pomoc.
Znaleźć Wszystkie liczby zespolone z dla których \(\displaystyle{ \frac{1+z+ z^{2} }{1-z+ z^{2}} \in \RR}\).
Znaleźć Wszystkie liczby zespolone
-
- Użytkownik
- Posty: 79
- Rejestracja: 7 paź 2014, o 18:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: warszawa
- Podziękował: 16 razy
Znaleźć Wszystkie liczby zespolone
Ostatnio zmieniony 31 paź 2014, o 15:09 przez Qń, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Całe wyrażenia matematyczne umieszczaj w tagach[latex] [/latex] .
Powód: Całe wyrażenia matematyczne umieszczaj w tagach
-
- Użytkownik
- Posty: 125
- Rejestracja: 23 paź 2013, o 17:49
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Gdynia
- Podziękował: 9 razy
- Pomógł: 9 razy
Znaleźć Wszystkie liczby zespolone
Liczba zespolona jest rzeczywista wtedy, kiedy zachodzi równość \(\displaystyle{ z = \overline{z}}\)
I teraz po prostu przyrównujesz:
\(\displaystyle{ \frac{1+z+z^2}{1-z+z^2} = \frac{1 + \overline{z} + \overline{z^2}}{1 - \overline{z} + \overline{z^2}}}\)
Teraz mnożysz "na krzyż" i wykorzystujesz własności sprzężeń i lecisz z tematem. Wydaje mi się, że jest to rozwiązanie prowadzące do dobrego wyniku.
I teraz po prostu przyrównujesz:
\(\displaystyle{ \frac{1+z+z^2}{1-z+z^2} = \frac{1 + \overline{z} + \overline{z^2}}{1 - \overline{z} + \overline{z^2}}}\)
Teraz mnożysz "na krzyż" i wykorzystujesz własności sprzężeń i lecisz z tematem. Wydaje mi się, że jest to rozwiązanie prowadzące do dobrego wyniku.
-
- Użytkownik
- Posty: 9833
- Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 90 razy
- Pomógł: 2632 razy
Znaleźć Wszystkie liczby zespolone
Chyba mniej rachunków:
Oczywiście jeśli \(\displaystyle{ z\in\RR}\) to jest ok. Poszukajmy więc rozwiązań różnych od rzeczywistych.
Jeśli \(\displaystyle{ \frac{1+z+ z^{2} }{1-z+ z^{2}} \in \RR}\), to z uwagi na \(\displaystyle{ \frac{1+z+ z^{2} }{1-z+ z^{2}}=1+2\cdot \frac{z}{1+z+z^2}}\) dostajemy, że musi być \(\displaystyle{ \frac{z}{1+z+z^2}\in \RR}\). Ale skoro jest to liczba różna od zera, to rzeczywista musi być także jej odwrotność \(\displaystyle{ \frac{1+z+z^2}{z}}\), a stąd oczywiście \(\displaystyle{ z+ \frac 1z \in \RR}\).
Musi być więc:
\(\displaystyle{ z+\frac 1z = \overline{z+ \frac 1z}}\)
czyli kolejno równoważnie:
\(\displaystyle{ z+\frac 1z = \overline{z}+ \frac {1}{\overline{z}}\\
z- \overline{z} = \frac{z-\overline{z}}{|z|^2}}\).
Skoro \(\displaystyle{ z}\) nie jest rzeczywiste, to \(\displaystyle{ z-\overline{z}\neq 0}\), mamy więc stąd:
\(\displaystyle{ 1=\frac{1}{|z|^2}}\)
czyli
\(\displaystyle{ |z|=1}\).
Q.
Oczywiście jeśli \(\displaystyle{ z\in\RR}\) to jest ok. Poszukajmy więc rozwiązań różnych od rzeczywistych.
Jeśli \(\displaystyle{ \frac{1+z+ z^{2} }{1-z+ z^{2}} \in \RR}\), to z uwagi na \(\displaystyle{ \frac{1+z+ z^{2} }{1-z+ z^{2}}=1+2\cdot \frac{z}{1+z+z^2}}\) dostajemy, że musi być \(\displaystyle{ \frac{z}{1+z+z^2}\in \RR}\). Ale skoro jest to liczba różna od zera, to rzeczywista musi być także jej odwrotność \(\displaystyle{ \frac{1+z+z^2}{z}}\), a stąd oczywiście \(\displaystyle{ z+ \frac 1z \in \RR}\).
Musi być więc:
\(\displaystyle{ z+\frac 1z = \overline{z+ \frac 1z}}\)
czyli kolejno równoważnie:
\(\displaystyle{ z+\frac 1z = \overline{z}+ \frac {1}{\overline{z}}\\
z- \overline{z} = \frac{z-\overline{z}}{|z|^2}}\).
Skoro \(\displaystyle{ z}\) nie jest rzeczywiste, to \(\displaystyle{ z-\overline{z}\neq 0}\), mamy więc stąd:
\(\displaystyle{ 1=\frac{1}{|z|^2}}\)
czyli
\(\displaystyle{ |z|=1}\).
Q.
- mol_ksiazkowy
- Użytkownik
- Posty: 11413
- Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 3155 razy
- Pomógł: 748 razy
Znaleźć Wszystkie liczby zespolone
no i \(\displaystyle{ z \neq \frac{1 \pm \sqrt{3}i}{2}}\)czyli \(\displaystyle{ |z|=1}\).