Wykazywanie wielomianów o zespolonych współczynnikach

[Drelson]

Ktoś mógłby jakoś w miarę jasno rozwiązać mi to zadanie bo niestety poległem na nim.

Niech \(\displaystyle{ M(z)}\) Będzie wielomianem stopnia \(\displaystyle{ 2n (n \in \NN)}\) o zespolonych współczynnikach. Dodatkowo niech wszystkie pierwiastki wielomianu \(\displaystyle{ M(z)}\) Są liczbami \(\displaystyle{ z_{i}}\) takimi, że \(\displaystyle{ \left|z_{i} \right| =1}\) oraz \(\displaystyle{ z_{i} \in \CC\setminus\RR}\) dla \(\displaystyle{ i =1,2,...,2n}\). Pokazać, że:
\(\displaystyle{ M(1) \in \RR \Leftrightarrow M(-1) \in \RR}\)

[kicaj]

\(\displaystyle{ M(z) =v\cdot (z-z_1 )\cdots (z-z_{2n} )}\)
\(\displaystyle{ M(1) =v\cdot (1-z_1 )\cdots (1-z_{2n} )}\)
\(\displaystyle{ M(-1) =v\cdot (1+z_1 )\cdots (1+z_{2n} )}\)
Zauważmy, że \(\displaystyle{ i\frac{1+z_i }{1-z_i} =i\frac{z_i -\bar{z_i}}{|1-z_i |^2 } \in \mathbb{R} .}\)
Więc \(\displaystyle{ (-1)^n \frac{M(-1)}{M(1)} =i\frac{1+z_1 }{1-z_1} \cdots i\frac{1+z_{2n} }{1-z_{2n}} \in \mathbb{R} .}\)
Zatem \(\displaystyle{ M(-1) =\frac{M(-1)}{M(1)}\cdot M(1) \in\mathbb{R} .}\)