Działanie na liczbach zespolonych

[rafcio_100]

Oblicz:
\(\displaystyle{ \sqrt[3]{(3+4i) ^{6} }}\)

[miodzio1988]

probem jest jaki? z wlasnosci poteg dla liczb zespolonych skorzystaj

[Gembson]

1. Pierwiastek jest 3.stopnia, więc będziesz miał 3 pierwiastki równania
2. Stopień pierwiastka skróć z potęgą pod nim co da Ci już 1. pierwiastek
3. Pozostają do obliczenia dwa pierwiastki, do tego skorzystaj z wzoru na pierwiastkowanie liczb zespolonych

[rafcio_100]

Otrzymuję, że jeden z pierwiastków jest równy \(\displaystyle{ -7+24i}\), ale nie wiem, jak mam policzyć pozostałe dwa, z jakiej postaci?

[Premislav]

Podpowiedź: \(\displaystyle{ 3+4i=(2+i)^{2}}\). Może i tak będzie łatwiej, choć przy zastosowaniu postaci trygonometrycznej i tak wyjdzie jakiś ohydny argument kątowy (ja zwykle w takich przypadkach pisałem "\(\displaystyle{ \arcsin \frac{1}{5}}\), itd. ...").
Pewnie istnieje jakieś fajne rozwiązanie przez zgadnięcie, jaki wielomian nad \(\displaystyle{ \CC}\) ma pierwiastki będące tej postaci i zabawę z wzorami Viete'a.

[rafcio_100]

373248.htm
Wzorując się na tym temacie, mnożę mój pierwiastek \(\displaystyle{ w_{0}=-7+24i}\) przez wszystkie pierwiastki trzeciego stopnia z jedynki i rozwiązania wychodzą takie same jak tutaj ... 281%2F3%29
To jest prawidłowy tok rozwiązania zadania?

[Premislav]

Jak najbardziej (i jest świetny), tego nie pamiętałem.
Jak masz liczbę zespoloną postaci \(\displaystyle{ a\cdot b}\), gdzie \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\) to dowolne liczby zespolone, to dla \(\displaystyle{ n \in \NN}\) jest oczywiście \(\displaystyle{ (ab)^{n}=a ^{n}b ^{n}}\). Stąd i z de Moivre'a łatwo uzyskać, że liczby wzmiankowanej w zalinkowanym temacie postaci są szukanymi pierwiastkami, a więcej niż \(\displaystyle{ 3}\) ich być (ich, tj. pierwiastków) nie może, bo są to pierwiastki wielomianu \(\displaystyle{ z ^{3}-(3+4i) ^{6}}\) (gdzie \(\displaystyle{ z \in \CC}\)), a takowy ma co najwyżej trzy różne pierwiastki zespolone.