Rozwiązać rownanie stosujac odpowiednią postać liczby zespolonej :
\(\displaystyle{ z^7 = \overline{z}(1-i)}\)
będę wdzięczny jeśli ktoś na tym przykładzie mi pokaże jak się coś takiego rozwiązuje, gdyż na ćwiczeniach były same proste przykłady, a sam potrafie tylko zamienić to na postać wykładniczą (nie jestem pewien czy poprawnie )
\(\displaystyle{ r^7e^{7i\varphi}=re^{-i\varphi}(1-i)}\)
nie mam pojęcia co dalej, czy wymnożyć prawą stronę, czy co, gubię się już w tym.
Rozwiąz równanie
-
blade
- Użytkownik
- Posty: 809
- Rejestracja: 3 cze 2014, o 00:07
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 586 razy
- Pomógł: 16 razy
Rozwiąz równanie
czyli mogę później stronami pomnożyć przez \(\displaystyle{ re^{i\varphi}}\) i będę miał
\(\displaystyle{ r^8e^{8i\varphi}=1-i}\)
i zamienie na \(\displaystyle{ i=e^{i\frac{\pi}{2}}\)
więc będzie
\(\displaystyle{ r^8e^{8i\varphi}=e^0-e^{i\frac{\pi}{2}}\)
Dobrze? I co mogę dalej zrobić?
\(\displaystyle{ r^8e^{8i\varphi}=1-i}\)
i zamienie na \(\displaystyle{ i=e^{i\frac{\pi}{2}}\)
więc będzie
\(\displaystyle{ r^8e^{8i\varphi}=e^0-e^{i\frac{\pi}{2}}\)
Dobrze? I co mogę dalej zrobić?
-
kerajs
- Użytkownik
- Posty: 8581
- Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 307 razy
- Pomógł: 3349 razy
Rozwiąz równanie
Tu wkradła się literówka. Powinno być:Kacperdev pisze:\(\displaystyle{ re^{-i\varphi}= \frac{1}{re^{i\varphi}}}\)
\(\displaystyle{ re^{-i\varphi}= r\frac{1}{e^{i\varphi}}}\)
-
blade
- Użytkownik
- Posty: 809
- Rejestracja: 3 cze 2014, o 00:07
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 586 razy
- Pomógł: 16 razy
Rozwiąz równanie
więc poprawiam będzie :
\(\displaystyle{ r^7e^{8i\varphi}=r(1-i)}\)
\(\displaystyle{ z=1-i}\)
\(\displaystyle{ \left| z\right| = \sqrt{2}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} \cos \varphi = \frac{ \sqrt{2} }{2} \\ \sin \varphi = -\frac{ \sqrt{2} }{2} \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \varphi = 2\pi - \frac{\pi}{4} = \frac{7\pi}{4}}\)
\(\displaystyle{ z= \sqrt{2}\left( \cos \frac{7\pi}{4} + i\sin \frac{7\pi}{4}\right)}\)
więc \(\displaystyle{ 1-i = re^{i\frac{7\pi}{4}}}\) czy \(\displaystyle{ 1-i=\sqrt{2}e^{i\frac{7\pi}{4}}}\) ?
jeśli to pierwsze to mam :
\(\displaystyle{ r^7e^{8i\varphi}=r^2e^{i\frac{7\pi}{4}}}\)
\(\displaystyle{ r^7=r^2 \vee 8\varphi = \frac{7\pi}{4} + 2k\pi}\)
\(\displaystyle{ r=0 \vee r=1}\)
\(\displaystyle{ \varphi = \frac{7\pi + 8k\pi}{32}}\)
\(\displaystyle{ k=0 : \varphi = \frac{7\pi}{32}}\)
\(\displaystyle{ k=1 : \varphi =\frac{15\pi}{32}}\)
\(\displaystyle{ k=2 : \varphi = \frac{23\pi}{32}}\)
\(\displaystyle{ k=3 : \varphi = \frac{31\pi}{32}}\)
\(\displaystyle{ k=4 : \varphi = \frac{39\pi}{32}}\)
\(\displaystyle{ k=5 : \varphi = \frac{47\pi}{32}}\)
\(\displaystyle{ k=6 : \varphi = \frac{55\pi}{32}}\)
\(\displaystyle{ k=7 : \varphi = \frac{63\pi}{32}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} \varphi = \frac{7\pi}{32} \\ \varphi =\frac{15\pi}{32} \\ \varphi = \frac{23\pi}{32} \\ \varphi = \frac{31\pi}{32} \\ \varphi = \frac{39\pi}{32} \\ \varphi = \frac{47\pi}{32} \\ \varphi = \frac{55\pi}{32} \\ \varphi = \frac{63\pi}{32} \end{cases}}\)
więc to będą \(\displaystyle{ \varphi}\)
no a r to nie wiem, które : \(\displaystyle{ 1-i = re^{i\frac{7\pi}{4}}}\) czy \(\displaystyle{ 1-i=\sqrt{2}e^{i\frac{7\pi}{4}}}\)
Dobrze, te \(\displaystyle{ \varphi}\) chociaż wyznaczyłem?
\(\displaystyle{ r^7e^{8i\varphi}=r(1-i)}\)
\(\displaystyle{ z=1-i}\)
\(\displaystyle{ \left| z\right| = \sqrt{2}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} \cos \varphi = \frac{ \sqrt{2} }{2} \\ \sin \varphi = -\frac{ \sqrt{2} }{2} \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \varphi = 2\pi - \frac{\pi}{4} = \frac{7\pi}{4}}\)
\(\displaystyle{ z= \sqrt{2}\left( \cos \frac{7\pi}{4} + i\sin \frac{7\pi}{4}\right)}\)
więc \(\displaystyle{ 1-i = re^{i\frac{7\pi}{4}}}\) czy \(\displaystyle{ 1-i=\sqrt{2}e^{i\frac{7\pi}{4}}}\) ?
jeśli to pierwsze to mam :
\(\displaystyle{ r^7e^{8i\varphi}=r^2e^{i\frac{7\pi}{4}}}\)
\(\displaystyle{ r^7=r^2 \vee 8\varphi = \frac{7\pi}{4} + 2k\pi}\)
\(\displaystyle{ r=0 \vee r=1}\)
\(\displaystyle{ \varphi = \frac{7\pi + 8k\pi}{32}}\)
\(\displaystyle{ k=0 : \varphi = \frac{7\pi}{32}}\)
\(\displaystyle{ k=1 : \varphi =\frac{15\pi}{32}}\)
\(\displaystyle{ k=2 : \varphi = \frac{23\pi}{32}}\)
\(\displaystyle{ k=3 : \varphi = \frac{31\pi}{32}}\)
\(\displaystyle{ k=4 : \varphi = \frac{39\pi}{32}}\)
\(\displaystyle{ k=5 : \varphi = \frac{47\pi}{32}}\)
\(\displaystyle{ k=6 : \varphi = \frac{55\pi}{32}}\)
\(\displaystyle{ k=7 : \varphi = \frac{63\pi}{32}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} \varphi = \frac{7\pi}{32} \\ \varphi =\frac{15\pi}{32} \\ \varphi = \frac{23\pi}{32} \\ \varphi = \frac{31\pi}{32} \\ \varphi = \frac{39\pi}{32} \\ \varphi = \frac{47\pi}{32} \\ \varphi = \frac{55\pi}{32} \\ \varphi = \frac{63\pi}{32} \end{cases}}\)
więc to będą \(\displaystyle{ \varphi}\)
no a r to nie wiem, które : \(\displaystyle{ 1-i = re^{i\frac{7\pi}{4}}}\) czy \(\displaystyle{ 1-i=\sqrt{2}e^{i\frac{7\pi}{4}}}\)
Dobrze, te \(\displaystyle{ \varphi}\) chociaż wyznaczyłem?
-
kerajs
- Użytkownik
- Posty: 8581
- Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 307 razy
- Pomógł: 3349 razy
Rozwiąz równanie
Masz równanie:
\(\displaystyle{ r^7e^{i 7\varphi}=re^{-i\varphi} \sqrt{2} e ^{i \frac{- \pi }{4} }}\)
skracam przez r uzyskując pierwsze rozwiązanie \(\displaystyle{ r=0 \Rightarrow z=0}\)
\(\displaystyle{ r^6e^{i 8\varphi}=\sqrt{2} e ^{i (\frac{- \pi }{4}+k2 \pi) }}\)
\(\displaystyle{ r= \sqrt[12]{2} \wedge \varphi= \frac{\frac{- \pi }{4}+k2 \pi}{8}}\)
co daje 8 rozwiazań których kąty (warto je indeksować) dobrze wyliczyłeś.
\(\displaystyle{ r^7e^{i 7\varphi}=re^{-i\varphi} \sqrt{2} e ^{i \frac{- \pi }{4} }}\)
skracam przez r uzyskując pierwsze rozwiązanie \(\displaystyle{ r=0 \Rightarrow z=0}\)
\(\displaystyle{ r^6e^{i 8\varphi}=\sqrt{2} e ^{i (\frac{- \pi }{4}+k2 \pi) }}\)
\(\displaystyle{ r= \sqrt[12]{2} \wedge \varphi= \frac{\frac{- \pi }{4}+k2 \pi}{8}}\)
co daje 8 rozwiazań których kąty (warto je indeksować) dobrze wyliczyłeś.