Rozwiązanie równania

[Gustaf]

Oto magiczne równanie, z którym mam problem:

\(\displaystyle{ \left| z ^{9} \right| = -z ^{6}}\)

Staram się to zamienić na postać wykładniczą, gdzie otrzymuje:

\(\displaystyle{ r ^{9} = - r ^{6} e ^{6j\phi}}\)

Z tego mam:

\(\displaystyle{ r ^{9} = - r ^{6}}\) , a więc \(\displaystyle{ r ^{6} = 0}\) v \(\displaystyle{ r ^{3} = -1}\)

Z tego wnioskuję, że r = 0, co powoduje, że dalsze liczenie nie ma sensu. Gdzie się pomyliłem, tudzież jak to rozwiązać?

[Premislav]

Z tego mam:

nie tak prędko, \(\displaystyle{ r=0}\) to jedna z możliwości, ale gdy \(\displaystyle{ r=1}\) albo \(\displaystyle{ r=-1}\), zaś \(\displaystyle{ e ^{6j\phi}=+/-1}\), to równość też może zachodzić, trzeba sprawdzić takie przypadki.

[Gustaf]

Hmmm, a czy r może być -1? Przecież to moduł r = |z|, więc jak może być ujemny?

[Premislav]

O, słusznie, głupotę napisałem, dzięki za czujność.
Ale gdy masz \(\displaystyle{ e ^{6i\phi}=-1}\) oraz \(\displaystyle{ r=1}\), to równość też zachodzi.