Zaznaczyć na płaszczyźnie zespolonej

[blade]

a)\(\displaystyle{ A=\left\{ z \in \mathbb C: \left| z-1\right| \le Im \left[ z+2\right] \right\}}\) (nie ma tutaj nawiasu po Im, więc chyba chodzi o całe wyrażenie Im [z+2] a nie tylko Im[z] + 2.)
\(\displaystyle{ \left| x+yi-1\right| \le Im \left[ x+yi+2\right]}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{x^2 -2x +1 +y^2} \le y}\)
i teraz mam to podnieść do kwadratu stronami, rozpatrując gdy y>0 i gdy y<0 ?

wtedy było by :
gdy \(\displaystyle{ y>0}\)
\(\displaystyle{ (x-1)^2 \le 0 \Leftrightarrow x=1}\)
gdy \(\displaystyle{ y<0}\)
\(\displaystyle{ (x-1)^2 \ge 0 \Leftrightarrow x \in \mathbb R}\) ?
Wtedy mam narysować wykres dla dwóch sytuacji, czy zsumować te zbiory czy coś jeszcze innego ?
Z góry dziękuję za pomoc

[kerajs]

gdy \(\displaystyle{ y<0}\)
\(\displaystyle{ (x-1)^2 \ge 0 \Leftrightarrow x \in \mathbb R}\) ?

Moduł jest zawsze nieujemny. W jaki sposób może być mniejszy od ujemnego ygreka? Tu brak rozwiazań.

Masz tylko rozwiazanie:
\(\displaystyle{ y \ge 0 \wedge x=1}\)
którego obrazem jest półprosta (x=1 obcięta do I ćwiartki)

[blade]

a co zrobić w tej sytuacji ?
\(\displaystyle{ B = \left\{ z \in \mathbb C: Im(z^2) \ge Re[(\overline{z})^2]\right\}}\)
\(\displaystyle{ z=x+iy}\)
\(\displaystyle{ Im(x+iy)^2 \ge Re[(x-iy)^2]}\)
\(\displaystyle{ 2xy \ge x^2 - y^2}\)
No i dalej nie wiem co zrobić.

[kerajs]

\(\displaystyle{ 2y^2 \ge x^2-2xy+y^2}\)
\(\displaystyle{ ( \sqrt{2} y)^2 \ge (x-y)^2}\)
\(\displaystyle{ \left|\sqrt{2} y \right| \ge \left| x-y\right|}\)
Potrafisz rozwiazać tę nierówność z wartościami bezględnymi?

[blade]

\(\displaystyle{ \left|\sqrt{2} y \right| - \left| x-y\right| \ge 0}\)
i później rozważam to w 3 przedziałach ? Tylko nie bardzo wiem jakich, skoro są 2 niewiadome.

[kerajs]

Raczej w czterech obszarach.
Obszar 1:
Założenie \(\displaystyle{ y \ge 0 \wedge x-y \ge 0}\) To część płaszczyzny XOY położona między prostymi \(\displaystyle{ y=0}\) i \(\displaystyle{ y=x}\) w I ćwiartce (taka trójkątnopodobna)
Dla tego założenia masz
\(\displaystyle{ \sqrt{2}y \ge x-y}\)
\(\displaystyle{ y \ge \frac{1}{1+ \sqrt{2} }x}\)
co jest półpłaszczyzną położona powyżej prostej \(\displaystyle{ y = \frac{1}{1+ \sqrt{2} }x}\)
Część wspólna tej półpłaszczyzny i obszaru z załpozenia jest jednym z rozwiazań tej nierówności.
Analoiogicznie szukasz rozwiazania w obszarach:
Obszar 2:zał: \(\displaystyle{ y \ge 0 \wedge x-y < 0}\)
Obszar 3:zał: \(\displaystyle{ y < 0 \wedge x-y \ge 0}\)
Obszar 4:zał: \(\displaystyle{ y < 0 \wedge x-y < 0}\)

[blade]

Ok zatem:
Obszar 1 :
\(\displaystyle{ y \ge \frac{1}{1+ \sqrt{2} }x}\)
Obszar 2:
\(\displaystyle{ y \ge -\frac{1}{\sqrt{2}-1}x}\)
Obszar 3:
\(\displaystyle{ y \ge \frac{1}{1-\sqrt{2}}x}\)
Obszar 4:
\(\displaystyle{ y \ge -\frac{1}{-\sqrt{2} - 1}x}\)

I teraz mam pytanie, czy do każdego obszaru jako rozwiązanie tego zadania będzie osobny wykres, tak ?

[kerajs]

Nie, wszystko robisz na jednym wykresie XOY. Twoje obszary z założeń są rozłączne więc mozna to robić na jednej płaszczyźnie Gaussa. Oczywiście jeśli masz z tym problemy, to rozwiazania w każdym obszarze szukaj na osobnych rysunkach pomocniczych. A potem przenieś to na jeden wykres.
Pamiętaj że obszary z nierówności słabych \(\displaystyle{ \le , \ge}\)zawierają brzeg i rysujesz go linią ciągłą, a obszary z nierówności ostrych \(\displaystyle{ <,>}\) nie zawieraja brzegu który oznaczasz linią przerywaną.