Działania oraz równania z liczbami zespolonymi

[blade]

1)Wykonaj działania :
a) \(\displaystyle{ (3- \sqrt{3}i)(4i + \sqrt{2})}\)

R: \(\displaystyle{ = 12i - 4\sqrt{3}i^2 + 3\sqrt{2} - \sqrt{6}i = 4\sqrt{3} + 3\sqrt{2} + (12-\sqrt{6})i}\)

b)\(\displaystyle{ \frac{2+3i}{i-1}}\)

R: \(\displaystyle{ \frac{2+3i}{i-1} \cdot \frac{i+1}{i+1} = \frac{2i+2+3i^2+3i}{i^2-1}= \frac{1}{2} - \frac{5}{2}i}\)

c) \(\displaystyle{ \frac{z-w}{\overline{z}+\overline{w}}; z=4-3i, w=-1+2i}\)


R:\(\displaystyle{ = \frac{4-3i+1-2i}{4+3i-1-2i}= \frac{5-5i}{3+i}\cdot \frac{3-i}{3-i}= \frac{10-20i}{10}=1-2i}\)

2)Znaleźć liczby rzeczywiste x i y spełniające równania :
a)\(\displaystyle{ x(2+3i) + y(5-2i) = -8+7i}\)
R:\(\displaystyle{ 2x +3xi +5y -2yi=-8 +7i}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} 2x+5y=-8 /\cdot 2 \\ 3x-2y=7 /\cdot 5 \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} x=1 \\ y=-2 \end{cases}}\)

b)\(\displaystyle{ \frac{1+yi}{x-2i} = 3i-1}\) \ Czy potrzebne jest tutaj założenie, że \(\displaystyle{ x \neq 2i}\)?

R:\(\displaystyle{ \frac{1+yi}{x-2i} = 3i-1/\cdot(x-2i)}\)

\(\displaystyle{ 1+yi=3xi-x+6+2i}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} -x+6=1 \\ y=3x+2 \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} x=5 \\ y=17 \end{cases}}\)

c)\(\displaystyle{ \frac{x+yi}{x-yi}= \frac{9-2i}{9+2i}}\)
R: Mogę po prostu stwierdzić, że \(\displaystyle{ \begin{cases} x=9\\ y=-2 \end{cases}}\) ?

Czy mógłby ktoś sprawdzić powyższe przykłady ? Z góry dziękuję

[miodzio1988]

do takiego sprawdzania polecam wolfram, zerknij zobaczysz jak fajnie dziala

[blade]

do takiego sprawdzania polecam wolfram, zerknij zobaczysz jak fajnie dziala

Ok dziękuję, rzeczywiście fajnie to idzie
A mógłbyś odpowiedzieć mi jeszcze na moje pytania dotyczące założenia w zadaniu 2) pkt b)
oraz zadanie 2) pkt. c)?

[miodzio1988]

zad 2 b

nie, wszak x ma byc rzeczywiste


zad 2 c

tak, ale czy jestes pewny, ze jest to jedyne rozwiazanie?

[blade]

zad 2 b

nie, wszak x ma byc rzeczywiste

Ah no tak

zad 2 c

tak, ale czy jestes pewny, ze jest to jedyne rozwiazanie?

Hmm.. Wymnożyłem obie strony przez mianowniki i wyszło mi coś takiego :

\(\displaystyle{ (x+yi)(9+2i)=(x-yi)(9-2i)}\)
\(\displaystyle{ 9x+2xi+9yi-2y=9x-9yi-2xi-2y}\)
porównałem Re z Im
\(\displaystyle{ \begin{cases} 0=0 \\ 9y+2x=-9y-2x \end{cases}}\)
i coś mi tutaj nie pasuje, gdzie robię błąd?

[miodzio1988]

nigdzie, wyznacz teraz \(\displaystyle{ y}\) z drugiego i pomysl co nam wyszlo

[blade]

\(\displaystyle{ \begin{cases} 0=0 \\ 9y+2x=-9y-2x \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ y= -\frac{2}{9}x}\)
więc mamy tutaj funkcję liniową ? \(\displaystyle{ \begin{cases} x \in \mathbb R \\ y=- \frac{2}{9}x \end{cases}}\)
Dobrze rozumiem?

[miodzio1988]

zgadza sie, wynik wstaw do podstawowego rownania i zobaczysz czy wszystko jest ok