Rozwiąż równanie i naszkicuj pierwiastki.

[lidka95]

Używając odpowiedniej postaci liczby zespolonej, rozwiązać równanie \(\displaystyle{ z ^{6}=\left| \vec{z} \right| ^{6}}\) (tak zaznaczyłam sprzężenie)i naszkicować jego pierwiastki.

Robiłam tak:
\(\displaystyle{ z=re ^{i \alpha }}\)
\(\displaystyle{ (r^{6})e ^{i6 \alpha }=r ^{6}}\)
\(\displaystyle{ e ^{i6 \alpha }=1}\)
Co teraz zrobić?

[miodzio1988]

jedynke przedstaw w postaci wykladniczej

no i \(\displaystyle{ r=0}\) "zjadlas" w tym rozwiazaniu

[lidka95]

W takim razie, z tego co pominęłam dostaję \(\displaystyle{ z=0}\)? A z tą jedynką, to będzie \(\displaystyle{ e ^{0}}\)?

[miodzio1988]

tak, \(\displaystyle{ z=0}\) jest rozwiazaniem

nie. nie jest to postac wykladnicza

[lidka95]

\(\displaystyle{ e ^{2 \pi i}}\)?

[miodzio1988]

juz lepiej, teraz mozesz porównac te dwie liczby

[lidka95]

Wychodzi \(\displaystyle{ \alpha = \frac{ \pi }{3}}\)

[miodzio1988]

to beda tylko dwa rozwiazania? Pomysl

[lidka95]

Uogólnić na \(\displaystyle{ \alpha = \frac{ \pi }{3}+2k \pi}\) i \(\displaystyle{ \alpha =-\frac{ \pi }{3}+ 2k \pi, k \in Z}\)?

[miodzio1988]

tak, wypisz rozwiazania teraz i zobacz czy sie zgadza nam