Nierówności elipsy?

[SuperM4n]

Witam, mam problem z takim zadaniem.

Wyznaczyć i zaznaczyć w płaszczyźnie zbiór wszystkich liczb zespolonych \(\displaystyle{ z = x + jy (x, y \in R)}\), dla których \(\displaystyle{ 3 \le |z - 1| + |z + 1| \le 5}\). (Wyprowadzić równania krzywych opisujących brzeg rozważanego obszaru.)

Z tego co wiem, mają tu wyjść nierówności elipsy, ale nie mam pojęcia jak do nich doprowadzić (zwłaszcza, że elipsy w szkole średniej nie miałem). Czy ma ktoś pomysł jak to wykonać?

[a4karo]

W pierwszym chyba ma być \(\displaystyle{ |z-1|}\) albo cos podobnego.

Wyguglaj sobie definicję elipsy i skonfrontuj z faktem, że wyrażenie \(\displaystyle{ |z-a|}\) oznacz odległośc na plaszczyznie punktu \(\displaystyle{ z}\) od punktu \(\displaystyle{ a}\).

[SuperM4n]

Tak, jest jak piszesz - mój błąd.

Próbowałem tak uczynić, ale niewiele mi to pomogło. Nie mam w ogóle pojęcia w jaki sposób zacząć przekształcanie.

[a4karo]

Nie masz co przekształcać. Masz znależć zbiór punktów, których suma odległości od punktów \(\displaystyle{ (-1,0)}\) i \(\displaystyle{ (1,0)}\) jest równa 3 a potem to samo dla 5.

To sie robi elementarnymi przekształceniami i twierdzeniem pitagorasa. Wiesz, że to elipsy. Jakie są ich półosie?

[SuperM4n]

Niestety, obawiam się, że nie rozumiem a i nie wiem, czy wykładowca zaakceptuje taki sposób rozwiązania. Nie da się w jakiś sposób dojść do tego krok po kroku za pomocą obliczeń?

[a4karo]

Da się. Zapisz moduły w języku \(\displaystyle{ x,y}\) i pozbądź się pierwiastków upraszczając co się da.

Dobry wykładowca powinien zaakceptować każde poprawne rozwiązanie (chyba że w zadaniu wymaga się wykorzystania konkretnej metody)

[SuperM4n]

Zrobiłem, z tym, że wychodzi mi cały czas nierówność okręgu.

Tj. po podstawieniu za z oraz obliczeniu każdego modułu mam:
\(\displaystyle{ 9 \le 2x ^{2} -2y ^{2} + 2 \le 25}\)
co w niczym nie przypomina równania elipsy, nawet po odjęciu 2.

[a4karo]

to napisz jak liczysz tę sumę modułów

[SuperM4n]

Po podstawieniu za z jest (będę już pisał bez nierówności):

\(\displaystyle{ 3 \le |x+yi-1| + |x+yi+1| \le 5}\)
\(\displaystyle{ 3 \le \sqrt{(x-1) ^{2}+(y) ^{2}} + \sqrt{(x+1) ^{2}+(y) ^{2}} \le 5}\) teraz podnoszę wszystko do drugiej potęgi i obliczam nawiasy
\(\displaystyle{ 9 \le x ^{2}-2x+1-y ^{2} +x ^{2}+2x+1-b ^{2} \le 25}\)
\(\displaystyle{ 9 \le 2x ^{2} -2y ^{2} + 2 \le 25}\)

Tak zrobiłem wcześniej, ale widzę już swój błąd - tam jest suma pierwiastków, więc należało by środkowe wyrażenie potraktować wzorem skróconego mnożenia na kwadrat sumy. Ale czy to coś da?

[a4karo]

1. obie równości (bo masz wyznaczyć elipsy) rozpatruj osobno
2. Sprawdź jak wygląda wzór na moduł
3. Wróć do notatek z gimnazjum i powtórz jak się sumy podnosi do kwadratu

[SuperM4n]

Już widzę, zrobiłem jednak więcej błędów.
Niemniej, wyszło mi teraz w środkowym wyrażeniu
\(\displaystyle{ 2x ^{2} +2+2y ^{2} +2 \sqrt{(x-1) ^{2}+y ^{2} } \sqrt{(x+1) ^{2}+y ^{2} }}\) co w niczym nie pomaga przez te dwa pierwiastki (spróbowałem również wstawić je pod jeden pierwiastek, ale wtedy jest iloczyn dwóch nawiasów z 4 liczbami każdy).

[a4karo]

No to to co bez pirwiastka na drugą strone (tam raz powinno byc 9 a raz 25) i jeszcze raz do kwadratu.
Jak nie chciales iśc prosta drogą, to musisz się pomęczyc z algebrą.

[SuperM4n]

Prosta droga nie jest dla mnie taka prosta. No ale nic, spróbuje coś wskórać algebraicznie. Dziękuję za pomoc.

[a4karo]

Z czystej ciekawości: co w tym wieku goni cię do takich rzeczy?