Przedstawić wyrażenie w postaci trygonometrycznej

[SuperM4n]

Witam,
mam problem z takim zadaniem:

\(\displaystyle{ \left( \frac{ \left( 1+i \sqrt{3} \right) }{ \left( 1-i \right) } \right) ^{24} \cdot \frac{ \left( -\cos \alpha + i\sin \alpha \right) ^{5} }{ \left( -1+ i\sqrt{3} \right) ^{12} }}\) Takie wyrażenie należy przedstawić w postaci trygonometrycznej i przedstawić krok po kroku swe rozumowanie. (nie wiem czy widać - pierwszy ułamek cały jest podniesiony do 24 potęgi)

Rozbiłem sobie całość na dwa człony i z pierwszego wyszło mi \(\displaystyle{ 2 ^{12} \cdot \left( \cos \left( -34 \pi \right) +i\sin \left( -34 \pi \right) \right)}\).

Próbowałem rozbić drugi człon i tu natrafiłem na problem. Po małym przekształceniu mam \(\displaystyle{ \frac{ \left( -\cos 5 \alpha +i\sin 5 \alpha \right) }{2 ^{12} \cdot \left( \cos 8 \pi +i\sin 8 \pi \right) }}\) i nie wiem, co dalej. Tu jest cosinus z minusem, przez co nie pasuje do standardowego wzoru.

Czy mógłby ktoś pomóc i poradzić? A może gdzieś jest błąd w obliczeniach? Sprawdzałem kilka razy, ale nic nie znalazłem.

[kerajs]

\(\displaystyle{ \frac{(1+i \sqrt{3})}{(1-i)}) ^{24} = \left( \frac{4(\cos \frac{ \pi }{3} +i \sin \frac{ \pi }{3}) }{ \sqrt{2} (\cos \frac{ -\pi }{4} +i \sin \frac{-\pi }{4})} \right) ^{24}=\\= \left( 2 \sqrt{2} (\cos \frac{ 7\pi }{12} +i \sin \frac{ 7\pi }{12})\right) ^{24}=......}\)



\(\displaystyle{ (-\cos \alpha + i\sin \alpha) ^{5}=\left( \cos ( \pi -\alpha) + i\sin ( \pi -\alpha)\right) ^5=....}\)


\(\displaystyle{ (-1+ i\sqrt{3}) ^{12} = \left( 4 \left( \cos \frac{ 4\pi }{3} +i \sin \frac{ 4\pi }{3} \right) \right) ^{12}=....}\)

[a4karo]

@kerajs
Jestes pewien, że \(\displaystyle{ \sin \alpha=\sin(\pi/2+\alpha)}\) ?
W pierwszym wzorze zabrakło siódemki.

[kerajs]

Touché, a4karo. Poprawiłem .

[SuperM4n]

Dziękuję za szybką odpowiedzieć, ale mam kilka wątpliwości. Otóż, w \(\displaystyle{ (1+i \sqrt{3})}\) moduł nie powinien być równy 2? I jeszcze w środkowym przykładzie - rozumiem już, że trzeba przesunąć przy cosinusie, bo on jest ujemny, ale czy to również konieczne przy sinusie?

[kerajs]

Masz rację, powinno być:
\(\displaystyle{ \frac{(1+i \sqrt{3})}{(1-i)}) ^{24} = \left( \frac{2(\cos \frac{ \pi }{3} +i \sin \frac{ \pi }{3}) }{ \sqrt{2} (\cos \frac{ -\pi }{4} +i \sin \frac{-\pi }{4})} \right) ^{24}=\\= \left( \sqrt{2} (\cos \frac{ 7\pi }{12} +i \sin \frac{ 7\pi }{12})\right) ^{24}=......}\)

\(\displaystyle{ (-\cos \alpha + i\sin \alpha) ^{5}=\left( \cos ( \pi -\alpha) + i\sin ( \pi -\alpha)\right) ^5=....}\)

\(\displaystyle{ (-1+ i\sqrt{3}) ^{12} = \left( 2 \left( \cos \frac{ 4\pi }{3} +i \sin \frac{ 4\pi }{3} \right) \right) ^{12}=....}\)
Sorry za tak żenujace pomyłki.

Co do zmiany kąta, to argument liczby zespolonej musi być taki sam w obu fragmentach zapisu jej postaci trygonometrycznej.

[a4karo]

Drugi przykład można zrobić troche prościej:
\(\displaystyle{ (-\cos \alpha + i\sin\alpha)^5=[-(\cos\alpha-i\sin\alpha)]^5=-(\cos(-\alpha)+i\sin(-\alpha))^5=-(\cos(-5\alpha)+i\sin(-5\alpha))=-\cos 5\alpha+i\sin 5\alpha}\)

[SuperM4n]

Dziękuje obu Panom za pomoc, rozjaśniło mi to kilka spraw i pozwoliło skończyć zadanie.