1.Znajdź wszystkie liczby zespolone, takie, że:
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n}z^k = 1}\)
2. Niech \(\displaystyle{ a \in \RR.}\) Dla \(\displaystyle{ z \in \CC}\) określamy:
\(\displaystyle{ f(z) = |i+z|^2 + az + 3 = 0}\)
Zbadaj dla jakich wartości \(\displaystyle{ a}\) funkcja \(\displaystyle{ f}\) ma własność: jeżeli \(\displaystyle{ f(u) = 0}\), to także \(\displaystyle{ f(\overline u) = 0}\)
Znajdz wszystkie liczby zespolone
-
bartek118
- Użytkownik
- Posty: 5974
- Rejestracja: 28 lut 2010, o 19:45
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Toruń
- Podziękował: 15 razy
- Pomógł: 1251 razy
Znajdz wszystkie liczby zespolone
1. Suma ciągu geometrycznego.
2. Przypuśćmy, że \(\displaystyle{ f(u)=0}\); policz wtedy \(\displaystyle{ f(\overline{u})}\).
2. Przypuśćmy, że \(\displaystyle{ f(u)=0}\); policz wtedy \(\displaystyle{ f(\overline{u})}\).
-
radeck0
- Użytkownik
- Posty: 30
- Rejestracja: 14 paź 2014, o 16:45
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 9 razy
- Pomógł: 1 raz
Znajdz wszystkie liczby zespolone
Może trochę głębsze podpowiedzi?
1. Rozumiem, że chodzi o standardową sumę, tak?
\(\displaystyle{ 1 = a _{1} \frac{1 - q^n}{1 - q}}\)
I teraz jak znaleźć WSZYSTKIE liczby zespolone spełniające warunek? I na jakiej podstawie uznałeś, że to ciąg geo?
2. Próbowałem zrobić to układem równań, że obie funkcje równają się 0, ale z marnym skutkiem.
1. Rozumiem, że chodzi o standardową sumę, tak?
\(\displaystyle{ 1 = a _{1} \frac{1 - q^n}{1 - q}}\)
I teraz jak znaleźć WSZYSTKIE liczby zespolone spełniające warunek? I na jakiej podstawie uznałeś, że to ciąg geo?
2. Próbowałem zrobić to układem równań, że obie funkcje równają się 0, ale z marnym skutkiem.
-
bartek118
- Użytkownik
- Posty: 5974
- Rejestracja: 28 lut 2010, o 19:45
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Toruń
- Podziękował: 15 razy
- Pomógł: 1251 razy
Znajdz wszystkie liczby zespolone
1. Ciąg \(\displaystyle{ \{ z^k \}}\) jest ciągiem geometrycznym o ilorazie \(\displaystyle{ z}\). Mamy:
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n}z^k = z \cdot \frac{z^n - 1}{z - 1}}\)
Stąd \(\displaystyle{ z \cdot \frac{z^n - 1}{z - 1} = 1}\), czyli:
\(\displaystyle{ z (z^n - 1) = z - 1 \\
z^{n+1} -z -z + 1 = 0 \\
z^{n+1} - 2z + 1 = 0}\)
2. Mamy \(\displaystyle{ u = x+iy}\) oraz \(\displaystyle{ |i+x+iy|^2 + a(x+iy) + 3 = 0 = f(u)=0}\). Wówczas:
\(\displaystyle{ f(\overline{u}) = f(x-iy) = |i+x-iy|^2 + a(x-iy) + 3 = 0 \\
|x+i(1-y)|^2 + ax -iay + 3 = 0 \\
x^2 + (1-y)^2 + ax -iay + 3 = 0 \\
x^2 + (1+y)^2 - (1+y)^2 + (1-y)^2 + ax +iay -iay -iay + 3 = 0 \\
|x+i(1+y)|^2 - (1+y)^2 + (1-y)^2 + a(x+iy) - 2iay + 3 = 0 \\
|x+i(1+y)|^2 + a(x+iy) + 3 - (1+y)^2 + (1-y)^2- 2iay = 0 \\
f(u) - (1+y)^2 + (1-y)^2- 2iay = 0 \\
- (1+y)^2 + (1-y)^2- 2iay = 0 \\
-1 -2y -y^2 + 1 -2y + y^2 -2iay = 0 \\
-4y - 2iay = 0}\)
Z ostatniej równości w szczególności wynika, że \(\displaystyle{ a=0}\). Pozostaje sprawdzić, czy wtedy funkcja \(\displaystyle{ f}\) ma zadaną własność. Istotnie - wtedy \(\displaystyle{ f(z)=|i+z|^2 + 3}\), w szczególności \(\displaystyle{ f(z) \in \mathbb{R}}\) oraz \(\displaystyle{ f(z) \geq 3}\), nie ma zatem liczb \(\displaystyle{ u}\) takich, że \(\displaystyle{ f(u)=0}\), zatem warunek jest spełniony w sposób pusty (poprzednik implikacji jest fałszywy, więc zdanie jest prawdziwe); zatem jedyną taką wartością parametru \(\displaystyle{ a}\) jest \(\displaystyle{ a=0}\).
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n}z^k = z \cdot \frac{z^n - 1}{z - 1}}\)
Stąd \(\displaystyle{ z \cdot \frac{z^n - 1}{z - 1} = 1}\), czyli:
\(\displaystyle{ z (z^n - 1) = z - 1 \\
z^{n+1} -z -z + 1 = 0 \\
z^{n+1} - 2z + 1 = 0}\)
2. Mamy \(\displaystyle{ u = x+iy}\) oraz \(\displaystyle{ |i+x+iy|^2 + a(x+iy) + 3 = 0 = f(u)=0}\). Wówczas:
\(\displaystyle{ f(\overline{u}) = f(x-iy) = |i+x-iy|^2 + a(x-iy) + 3 = 0 \\
|x+i(1-y)|^2 + ax -iay + 3 = 0 \\
x^2 + (1-y)^2 + ax -iay + 3 = 0 \\
x^2 + (1+y)^2 - (1+y)^2 + (1-y)^2 + ax +iay -iay -iay + 3 = 0 \\
|x+i(1+y)|^2 - (1+y)^2 + (1-y)^2 + a(x+iy) - 2iay + 3 = 0 \\
|x+i(1+y)|^2 + a(x+iy) + 3 - (1+y)^2 + (1-y)^2- 2iay = 0 \\
f(u) - (1+y)^2 + (1-y)^2- 2iay = 0 \\
- (1+y)^2 + (1-y)^2- 2iay = 0 \\
-1 -2y -y^2 + 1 -2y + y^2 -2iay = 0 \\
-4y - 2iay = 0}\)
Z ostatniej równości w szczególności wynika, że \(\displaystyle{ a=0}\). Pozostaje sprawdzić, czy wtedy funkcja \(\displaystyle{ f}\) ma zadaną własność. Istotnie - wtedy \(\displaystyle{ f(z)=|i+z|^2 + 3}\), w szczególności \(\displaystyle{ f(z) \in \mathbb{R}}\) oraz \(\displaystyle{ f(z) \geq 3}\), nie ma zatem liczb \(\displaystyle{ u}\) takich, że \(\displaystyle{ f(u)=0}\), zatem warunek jest spełniony w sposób pusty (poprzednik implikacji jest fałszywy, więc zdanie jest prawdziwe); zatem jedyną taką wartością parametru \(\displaystyle{ a}\) jest \(\displaystyle{ a=0}\).