Iloraz liczb zespolonych

[Honorata123]

Prosze o pomoc w rozwiązaniu i narysowaniu tego zadania:

\(\displaystyle{ \left| \frac{z-3i}{z} \right|>1}\)

[szw1710]

Zakładając, że \(\displaystyle{ z\ne 0}\) mamy równoważnie \(\displaystyle{ |z-3i|>|z|}\), co oznacza, że odległość punktu \(\displaystyle{ z}\) od punktu \(\displaystyle{ 3i}\) jest większa niż odległość punktu \(\displaystyle{ z}\) od początku układu. A pomocniczo spytam, jaki jest zbiór punktów równo oddalonych od dwóch konkretnych punktów \(\displaystyle{ A,B}\) płaszczyzny?

W rozwiązaniu nierówności nie zapomnij o założeniu \(\displaystyle{ z\ne 0}\).

Dobranoc.

[sebnorth]

Załóżmy, że \(\displaystyle{ z \neq 0}\)

Wtedy nierówność z zadania jest równoważna nierówności:

\(\displaystyle{ |z-3i| > |z|}\)

Czyli szukamy tych \(\displaystyle{ z}\) których odległość od \(\displaystyle{ 3i}\) jest większa od odległości od zera.

To będą te \(\displaystyle{ z \neq 0}\) które leżą poniżej prostej \(\displaystyle{ \Im z = \frac{3}{2}}\)

To można też uzyskać algebraicznie:

dla \(\displaystyle{ z \neq 0}\):

\(\displaystyle{ z = a + bi}\)

\(\displaystyle{ |z-3i|^2 > |z|^2}\)

\(\displaystyle{ a^2 + (b-3)^2 > a^2 + b^2}\)

\(\displaystyle{ b < \frac{3}{2}}\)

[Honorata123]

(...)A pomocniczo spytam, jaki jest zbiór punktów równo oddalonych od dwóch konkretnych punktów \(\displaystyle{ A,B}\) płaszczyzny?

W rozwiązaniu nierówności nie zapomnij o założeniu \(\displaystyle{ z\ne 0}\).

Dobranoc.

Prosta prostopadła do odcinka łączącego te dwa punkty(i przecinająca go w połowie).
Tylko dalej nie wiem o dalej..-- 16 paź 2014, o 23:36 --

Załóżmy, że \(\displaystyle{ z \neq 0}\)

Wtedy nierówność z zadania jest równoważna nierówności:

\(\displaystyle{ |z-3i| > |z|}\)

Czyli szukamy tych \(\displaystyle{ z}\) których odległość od \(\displaystyle{ 3i}\) jest większa od odległości od zera.

To będą te \(\displaystyle{ z \neq 0}\) które leżą poniżej prostej \(\displaystyle{ \Im z = \frac{3}{2}}\)

To można też uzyskać algebraicznie:

dla \(\displaystyle{ z \neq 0}\):

\(\displaystyle{ z = a + bi}\)

\(\displaystyle{ |z-3i|^2 > |z|^2}\)

\(\displaystyle{ a^2 + (b-3)^2 > a^2 + b^2}\)

\(\displaystyle{ b < \frac{3}{2}}\)

Dzięki bardzo, ale teraz znowu mam problem - jak mam to narysować.

[szw1710]

Normalnie - narysuj symetralną odpowiedniego odcinka. Punkty położone bliżej zera niż \(\displaystyle{ 3i}\) leżą... właśnie po coś tę symetralną wyznaczaliśmy.