Wartości funkcji kwadratowej

[Heniu432]

Proszę o pomoc z tym zadaniem, albo chociaż jakąś wskazówkę.

Niech \(\displaystyle{ a\in \mathbb{R}}\). Dla \(\displaystyle{ z\in \mathbb{C}}\) określamy
\(\displaystyle{ f(z)=|i + z|^{2}+az+3}\).


Zbadaj, dla jakich wartości \(\displaystyle{ a}\) funkcja \(\displaystyle{ f}\) ma własność: jeżeli \(\displaystyle{ f(u) = 0}\),
to także \(\displaystyle{ f(\overline{u}) = 0}\).

[Ponewor]

Standardowo \(\displaystyle{ z=x+iy}\)...

[wesolyroman]

Ale w jaki sposób? Mam problem z takim samym zadaniem i jak podstawiam x i y to dochodzę do momentu \(\displaystyle{ x^{2}+y^{2}+x+2y+ax+iay+4}\) i nie wiem co robić dalej :/

[Premislav]

Ufam, że wykonałeś obliczenia poprawnie. Przyjmujesz, że \(\displaystyle{ z}\) jest pierwiastkiem. Gdy podstawisz za \(\displaystyle{ \overline{z}}\), czyli \(\displaystyle{ x-iy}\), to jedyną zmianą będzie minus zamiast plusa przy \(\displaystyle{ 2y}\) oraz przy \(\displaystyle{ iay}\). Ale skoro \(\displaystyle{ z}\) jest pierwiastkiem, tj. \(\displaystyle{ f(z)=0}\), to do tego, by \(\displaystyle{ \overline{z}}\) był pierwiastkiem, potrzeba i wystarcza, by \(\displaystyle{ f(\overline{z})-f(z)=0}\). Wykonujesz odejmowanie i przyrównujesz do \(\displaystyle{ 0}\), dostajesz warunki na \(\displaystyle{ a}\).

[Heniu432]

Rozwiązując w ten sposób \(\displaystyle{ a}\) nie spełnia warunków zadania - nie jest rzeczywiste.

[Ponewor]

Bo podzieliłeś przez zero.