Sprawdzenie zadania - liczby zespolone

[piotrekq94]

Oblicz: \(\displaystyle{ z=(-1-i)^{11}}\) Wynik podaj w postaci trygonometrycznej
\(\displaystyle{ |z|= \sqrt{2}}\)
\(\displaystyle{ \phi= \frac{5}{2}\pi}\)
\(\displaystyle{ z^{11}= \left( \cos \frac{55}{2}\pi+i\sin \frac{55}{2}\pi \right)}\)
\(\displaystyle{ z= \sqrt{2} \left( \cos \frac{5}{2}\pi+i\sin \frac{5}{2}\pi \right)}\)

[miodzio1988]

kąt źle wyznaczyles

[piotrekq94]

Czemu źle?

\(\displaystyle{ \cos \phi= \frac{- \sqrt{2} }{2}}\)

\(\displaystyle{ \sin \phi= \frac{- \sqrt{2} }{2}}\)

Ćwiartka III, więc \(\displaystyle{ \pi+ \frac{3}{2}\pi}\)

[miodzio1988]

... 3%2F2pi%29

cosinus wtedy wynosi zero

[piotrekq94]

Czyli ostatecznie postać trygonometryczna będzie wyglądała tak:

\(\displaystyle{ z= \sqrt{2} (\cos 0+i \sin 0)}\)

Czy jak?

[miodzio1988]

Nie, po co wstawiasz niewłaściwy kąt? Masz odpowiedni kąt wyznaczyć dla tej liczby zespolonej

[piotrekq94]

Czyli jak to będzie ostatecznie?

[miodzio1988]

Kąt wiesz jaki powinien być, dostałeś odpowiedź na innym forum przecież

[piotrekq94]

Ale dlaczego wychodzi: \(\displaystyle{ \phi= \frac{5}{4}\pi}\), a nie \(\displaystyle{ \frac{5}{2}\pi}\)

[miodzio1988]

Bo wtedy masz odpowiednie wartości tych cosinusów i sinusów

[rafcio_100]

AU

125qjj9.jpg (15.25 KiB) Przejrzano 204 razy

Wiesz, że \(\displaystyle{ \cos \phi}\) wynosi \(\displaystyle{ \frac{- \sqrt{2} }{2}}\), odszukujesz więc tą wartość na wykresie, a następnie określasz, jaki kąt z III ćwiartki \(\displaystyle{ left[ pi ; frac{3 pi }{2}
ight)}\) ma taką wartość.

[piotrekq94]

Czyli ostatecznie postać trygonometryczna wygląda tak:
\(\displaystyle{ z= \sqrt{2} \left( \cos \frac{5}{4}\pi+i\sin \frac{5}{4}\pi \right)}\)

[rafcio_100]

Dokładnie, teraz możesz liczyć potęgę.

[miodzio1988]

To by się zgadzało, teraz wzór de Moivre'a

[piotrekq94]

\(\displaystyle{ \left( \sqrt{2} \right) ^{11}= \left( \cos \frac{3}{4}\pi+i\sin \frac{3}{4}\pi \right)}\)
Tak?