Nie potrafię poradzić sobie z dwoma przykładami.
\(\displaystyle{ (z-1)^6=(i-z)^6}\)
oraz
\(\displaystyle{ z^3=(iz+1)^3}\)
Gdyby ktoś powiedział mi jak zacząć to liczyć. Bo podstawianie x+iy zamiast z i potęgowanie wydaje mi się idiotyczne a zamienić na trygonometryczną też nie ma jak.
Potęgi liczb zespolonych
- Igor V
- Użytkownik
- Posty: 1605
- Rejestracja: 16 lut 2011, o 16:48
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 18 razy
- Pomógł: 604 razy
Potęgi liczb zespolonych
Możesz przerzucić wszystko na jedną stronę i skorzystać ze wzoru na różnicę sześcianów (w pierwszym \(\displaystyle{ 6=3\cdot 2}\) ,więc musisz kwadrat wyłączyć)
- sebnorth
- Użytkownik
- Posty: 635
- Rejestracja: 12 sty 2011, o 16:27
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Puck i Trójmiasto
- Pomógł: 201 razy
Potęgi liczb zespolonych
Oznaczmy rozwiązania równania \(\displaystyle{ w^6 = 1}\) przez \(\displaystyle{ w_0, w_1, \ldots, w_5}\).
Można pójść tym tropem:
\(\displaystyle{ (z-1)^6=(i-z)^6}\)
\(\displaystyle{ \frac{(z-1)^6}{(i-z)^6} = 1}\)
\(\displaystyle{ ( \frac{z-1}{i-z} ) ^6= 1}\)
Zatem dla pewnego \(\displaystyle{ 0 \leq k \leq 5}\) mamy \(\displaystyle{ \frac{z-1}{i-z} = w_k}\)
\(\displaystyle{ z - 1 = (i - z) w_k}\)
\(\displaystyle{ z(1+ w_k) = 1 + iw_k}\)
\(\displaystyle{ z = \frac{1 + iw_k}{1 + w_k}}\) (o ile \(\displaystyle{ w_k \neq -1}\))
Można pójść tym tropem:
\(\displaystyle{ (z-1)^6=(i-z)^6}\)
\(\displaystyle{ \frac{(z-1)^6}{(i-z)^6} = 1}\)
\(\displaystyle{ ( \frac{z-1}{i-z} ) ^6= 1}\)
Zatem dla pewnego \(\displaystyle{ 0 \leq k \leq 5}\) mamy \(\displaystyle{ \frac{z-1}{i-z} = w_k}\)
\(\displaystyle{ z - 1 = (i - z) w_k}\)
\(\displaystyle{ z(1+ w_k) = 1 + iw_k}\)
\(\displaystyle{ z = \frac{1 + iw_k}{1 + w_k}}\) (o ile \(\displaystyle{ w_k \neq -1}\))