Potęgi liczb zespolonych

[foo2000]

Nie potrafię poradzić sobie z dwoma przykładami.

\(\displaystyle{ (z-1)^6=(i-z)^6}\)
oraz
\(\displaystyle{ z^3=(iz+1)^3}\)

Gdyby ktoś powiedział mi jak zacząć to liczyć. Bo podstawianie x+iy zamiast z i potęgowanie wydaje mi się idiotyczne a zamienić na trygonometryczną też nie ma jak.

[Igor V]

Możesz przerzucić wszystko na jedną stronę i skorzystać ze wzoru na różnicę sześcianów (w pierwszym \(\displaystyle{ 6=3\cdot 2}\) ,więc musisz kwadrat wyłączyć)

[sebnorth]

Oznaczmy rozwiązania równania \(\displaystyle{ w^6 = 1}\) przez \(\displaystyle{ w_0, w_1, \ldots, w_5}\).

Można pójść tym tropem:

\(\displaystyle{ (z-1)^6=(i-z)^6}\)

\(\displaystyle{ \frac{(z-1)^6}{(i-z)^6} = 1}\)

\(\displaystyle{ ( \frac{z-1}{i-z} ) ^6= 1}\)

Zatem dla pewnego \(\displaystyle{ 0 \leq k \leq 5}\) mamy \(\displaystyle{ \frac{z-1}{i-z} = w_k}\)

\(\displaystyle{ z - 1 = (i - z) w_k}\)

\(\displaystyle{ z(1+ w_k) = 1 + iw_k}\)

\(\displaystyle{ z = \frac{1 + iw_k}{1 + w_k}}\) (o ile \(\displaystyle{ w_k \neq -1}\))