Dla jakich liczb n równanie ma rozwiązanie zespolone

[wesolyroman]

Mam wyznaczyć wszystkie liczby całkowite n, dla których poniższe równanie ma rozwiązanie w dziedzinie zespolonej.
\(\displaystyle{ \left| z - (1+i) ^{n} \right| = z}\)

Rozbiłem to na dwa przypadki:
1. \(\displaystyle{ z - (1+i) ^{n} = z}\)
2. \(\displaystyle{ z - (1+i) ^{n} = -z}\)

W 1. wychodzi od razu sprzeczność, a w 2. dochodzę do postaci \(\displaystyle{ z= (\sqrt{2})^{n-2}e^{in \frac{ \pi }{4}}\).
Czy to oznacza, że to równanie ma rozwiązanie dla każdej liczby całkowitej n?

[miodzio1988]

ZObacz jak się definiuje moduł dla liczb zespolonych