Zbadaj, dla jakich n...

[rafaluk]

Niech \(\displaystyle{ z\in \mathbb{C}}\) (zespolone). Zbadaj, dla jakich \(\displaystyle{ n\in \{ 1,2,...\}}\) liczba \(\displaystyle{ (z+\overline{z}i)^n}\) jest rzeczywista.

Proszę o pomoc.

[miodzio1988]

\(\displaystyle{ z=a+bi}\) i zobacz co w tym nawiasie dostajemy

[rafaluk]

W nawiasie:

\(\displaystyle{ a+bi+i(a-bi)=a+bi+ai+b=a+b+i(a+b)=(a+b)(1+i)}\)

W pierwszym nawiasie jest rzeczywista (więc pomijam, bo jej wartość nic nie zmienia), w drugim zaś mam liczbę zespoloną, która - jak mi się wydaje - po podniesieniu do jakiejkolwiek potęgi naturalnej nadal będzie liczbą zespoloną (bo liczba \(\displaystyle{ i}\) zawsze wystąpi w nieparzystej potędze, a wtedy się nie zredukuje). Z tego wynika, że nie ma takiego \(\displaystyle{ n}\), które spełniałoby zadanie.

[AdamL]

Przyda się jeszcze postać trygonometryczna

[Hydra147]

Nawet nie sprawdziłeś początkowych potęg. A przecież już \(\displaystyle{ (i+1)^2=2i}\), a więc \(\displaystyle{ (i+1)^4=(2i)^2=-4}\). Jaki jest argument liczby \(\displaystyle{ i+1}\)? Co się dzieje z argumentem przy podnoszeniu do potęgi \(\displaystyle{ n}\)? Jaki argument musi mieć ta potęga, aby liczba była rzeczywista?

[AdamL]

Wzór de Moivre'a cos Ci mówi? Albo ogólniej - Eulera?

[rafaluk]

Przyda się jeszcze postać trygonometryczna

Wzór de Moivre'a cos Ci mówi? Albo ogólniej - Eulera?

Wychodzę ze wzoru: \(\displaystyle{ z=\left| z\right| (\cos \phi +i\sin \phi )}\), co jest równe: \(\displaystyle{ \left| z\right| e^{i\phi }}\).

Dla \(\displaystyle{ z=1+i}\) mamy: \(\displaystyle{ 1+i=\sqrt2 (\cos \frac{\pi}{4}+i\sin \frac{\pi}{4})=\sqrt2\cdot e^{i\frac{\pi}{4}}=\sqrt2\cdot (e^{i\pi})^{\frac{1}{4}}=\sqrt2\cdot (-1)^{\frac{1}{4}}}\)

Zatem: \(\displaystyle{ z^n=\sqrt2^n\cdot (-1)^{\frac{n}{4}}}\)

Czy to oznacza, że moja liczba będzie rzeczywista, jeśli podniosę ją do potęgi \(\displaystyle{ 4n}\), gdzie \(\displaystyle{ n\in \mathbb{N}}\)?

[yorgin]

Zgadza się, choć ja na Twoim miejscu unikałbym kłopotliwego zapisu

\(\displaystyle{ \sqrt2\cdot (e^{i\pi})^{\frac{1}{4}}=\sqrt2\cdot (-1)^{\frac{1}{4}}}\)

(wszak dla przykładu \(\displaystyle{ i\neq (-1)^{\frac{1}{2}})}\) i pozostawił tylko

\(\displaystyle{ \sqrt2\cdot e^{i\frac{\pi}{4}}}\)

i tutaj zauważył, że potęgi postaci \(\displaystyle{ n=4k}\) są dobre.

[Dasio11]

Pełna odpowiedź powinna brzmieć tak: jeśli \(\displaystyle{ a+b=0,}\) to każde \(\displaystyle{ n}\) ma opisaną własność, a jeśli \(\displaystyle{ a+b \neq 0}\) to tylko \(\displaystyle{ n = 4k}\) dla \(\displaystyle{ k = 1, 2, \ldots}\)