Wyznaczyć zbiór na płaszczyźnie Gaussa

[adams12]

Witam, mam problem z takim zadaniem. Czy ktoś mógłby mi pomóc je rozwiązać? Próbuję je zrobić na różne sposoby i ciągle mi nie chce wyjść.
Zaznaczyć na płaszczyźnie Gaussa zbiór liczb zespolonych \(\displaystyle{ \ZZ \subset \ZZ}\) spełniających warunek:
\(\displaystyle{ z\cdot \overline {z} = 4 \wedge z=\overline{z}}\)
Jak dojść do tego miejsca by wyznaczyć tę konkretna parę liczb? Rozpisać potrafię, ale nie wiem, co dalej.
W tym równaniu wychodzi mi półokrąg, a powinien tylko jeden konkretny punkt:
\(\displaystyle{ Im(\frac{1}{z})=\frac{1}{6} \wedge Rez>0}\)
Dziękuję za jakiekolwiek wskazówki

[kerajs]

\(\displaystyle{ z=x+iy}\)
\(\displaystyle{ z\cdot \overline {z} = 4}\)
\(\displaystyle{ x^2+y^2=4}\)
To okrąg w środku w poczatku płaszczyzny Gaussa o promieniu 2

\(\displaystyle{ z=\overline{z}}\)
\(\displaystyle{ x+iy=x-iy}\)
\(\displaystyle{ iy=0}\)
\(\displaystyle{ y=0}\)
To prosta

Cząścia wspólna tych dwóch równań jest przecięcie okręgu z prosta co daje dwa punkty \(\displaystyle{ z _{1}=-2 \vee z _{2}=2}\)

\(\displaystyle{ Im(\frac{1}{z})=\frac{1}{6}}\)
\(\displaystyle{ Im(\frac{\overline{z}}{\left| z\right|^2 })=\frac{1}{6}}\)
\(\displaystyle{ \frac{-y}{x^2+y^2}= \frac{1}{6}}\)
\(\displaystyle{ x^2+(y+3)^2=9}\)
To okrąg o promieniu 3 i środku w punkcie (0, -3)
Drugie ograniczenie \(\displaystyle{ Rez>0}\)obcina go do prawego półokręgu

[yorgin]

Zaznaczyć na płaszczyźnie Gaussa zbiór liczb zespolonych \(\displaystyle{ \ZZ \subset \ZZ}\) spełniających

\(\displaystyle{ \ZZ}\) to oznaczenie zbioru liczb całkowitych i nijak się ma do liczb zespolonych.

\(\displaystyle{ z\cdot \overline {z} = 4 \wedge z=\overline{z}}\)
Jak dojść do tego miejsca by wyznaczyć tę konkretna parę liczb? Rozpisać potrafię, ale nie wiem, co dalej.

Skoro \(\displaystyle{ z=\overline{z}}\), to \(\displaystyle{ z^2=4}\), czyli masz zwykłe równanie kwadratowe. Zero magii.

W tym równaniu wychodzi mi półokrąg, a powinien tylko jeden konkretny punkt:
\(\displaystyle{ Im(\frac{1}{z})=\frac{1}{6} \wedge Rez>0}\)
Dziękuję za jakiekolwiek wskazówki

\(\displaystyle{ \Re z>0}\) daje \(\displaystyle{ x>0}\). Dodatkowo \(\displaystyle{ \Im \frac{1}{z}=\frac{-y}{x^2+y^2}=\frac{1}{6}}\) istotnie przechodzi na równanie okręgu (bez jednego punktu). Jaki ma być rzekomy wynik?

[adams12]

\(\displaystyle{ \ZZ}\)to oznaczenie zbioru liczb całkowitych i nijak się ma do liczb zespolonych.

Wiem, że oznaczenia międzynarodowe są trochę inne ale akurat takie oznaczenie zbioru liczb zespolonych jest w podręczniku R. Grzymkowskiego "Matematyka dla studentów wyższych uczelni technicznych" więc je pisze.

Cząścia wspólna tych dwóch równań jest przecięcie okręgu z prosta co daje dwa punkty \(\displaystyle{ z _{1}=-2 \vee z _{2}=2}\)

Czy to znaczy, że rozwiązaniem jest \(\displaystyle{ z_{1}=(-2,0) \vee z_{2}=(2,0)}\)? Bo w odpowiedziach są dwa punkty \(\displaystyle{ (-2,0), (0,2)}\)

Moglibyśmy jeszcze to tak rozpisać?(pytam czysto teoretycznie):
\(\displaystyle{ z=\overline z \wedge z=x+yi \Rightarrow \overline z=x+yi}\)

W drugim przykładzie również mi wyszedł prawy półokrąg, a w odpowiedziach jest, że to punkt \(\displaystyle{ (3,3)}\)

[kerajs]

Czy to znaczy, że rozwiązaniem jest \(\displaystyle{ z_{1}=(-2,0) \vee z_{2}=(2,0)}\)? Bo w odpowiedziach są dwa punkty \(\displaystyle{ (-2,0), (0,2)}\)

Tak, o ile nie pomyliłem sie w rachunkach .

Moglibyśmy jeszcze to tak rozpisać?(pytam czysto teoretycznie):
\(\displaystyle{ z=\overline z \wedge z=x+yi \Rightarrow \overline z=x+yi}\)

\(\displaystyle{ \overline z=x-yi}\)

W drugim przykładzie również mi wyszedł prawy półokrąg, a w odpowiedziach jest, że to punkt \(\displaystyle{ (3,3)}\)

Ten punkt nie należy do wyliczonego okręgu.

Błąd może być w naszych obliczeniach lub powstał w trakcie przepisywania zadania lub jest w książce.