Równanie liczb zespolonych

[Gustaf]

Obliczyc iloczyn wszystkich zespolonych pierwiastków równania

\(\displaystyle{ \left( \overline{z}^{3} + j\right) \left( z ^{5} - 32 \right) = 0}\)

Każde mogę przyrównać do 0, wtedy mam:

\(\displaystyle{ \left( \overline{z ^ 3} + j \right) = 0 \wedge \left( z ^{5} - 32 \right) = 0}\)

Jeśli chodzi o pierwsze to staram się zapisać że \(\displaystyle{ \overline{z}^{3} = (x - yj) ^{3} + j = 0}\)
ale z tego wychodzi mi kosmiczny układ.

Przy drugim znowu mam pierwiastek piątego stopnia, więc muszę dostać 5 pierwiastków, a jako że jest ich 5 to kąt będzie się zmieniał o \(\displaystyle{ 2\pi/5}\) więc nie będą to "ładne" pierwiastki, a mam później za zadanie odpowiedzieć na pytanie:
"Ile sposród tych pierwiastków spełnia warunek \(\displaystyle{ \Im z \ge 0}\)?"

Jak to rozwikłać?

[Premislav]

\(\displaystyle{ 32=32(\cos2k\pi+i\sin2k\pi), k \in \ZZ}\); dalej pierwiastkujesz moduł, a argument kątowy dzielisz.
Czyli pierwiastki piątego stopnia załatwione.
Podstawmy \(\displaystyle{ \overline z=w}\). Wtedy w musi być pierwiastkiem trzeciego stopnia z \(\displaystyle{ j}\), to jest do wyliczenia z de Moivre'a również (trzy sztuki). Masz wyliczone możliwe \(\displaystyle{ w}\), to je sprzęgasz, bo było \(\displaystyle{ w=\overline z}\) i masz rozwiązania.

[Gustaf]

" Masz wyliczone możliwe w, to je sprzęgasz, z i masz rozwiązania."

To znaczy jak mam to zrobić?

[Premislav]

Jak już wyliczysz pierwiastki trzeciego stopnia z \(\displaystyle{ j}\), to zwyczajnie liczbę postaci \(\displaystyle{ a+bj}\) zastępujesz przez \(\displaystyle{ a-bj}\)

[a4karo]

Wzory Viete'a:
\(\displaystyle{ \overline{z}^3+j=\overline{z^3-j}=0}\)
iloczyn pierwiastków tego równania to???

Iloczyn pierwiastków równania \(\displaystyle{ z^5-32=0}\) to???


i już

[Gustaf]

No dobra, ale jak wylicze w, to wyjdzie mi:

\(\displaystyle{ w _{0} = 2}\)
\(\displaystyle{ w _{1} = 2 \left( \cos \frac{2\pi}{5} + j\sin \frac{2\pi}{5}\right)}\)
itd.

To mam te rozwiązania zostawić w formie trygonometrycznej? Jak mam wtedy odpowiedzieć na to dodatkowe pytanie?

[a4karo]

Ale po co?? \(\displaystyle{ z^5-32=(z-z_1)(z-z_2)\dots(z-z_5)}\). Jak wymnożysz prawą stronę, to wyraz wolny będzie???

[Gustaf]

A więc \(\displaystyle{ z _{1}z _{2}z _{3} z _{4} z _{5} = -32}\) ?

[a4karo]

Dokłądnie tak Proste?
A co z tym drugim czynnikiem?