Obliczanie potęgi liczby zespolonej.

[Totalq]

Jakaś podpowiedź jak się za to zabrać? Zamiana na postać trygonometryczną mi nie wychodzi, bo cos i sin za bardzo z tego obliczyć nie można (to jest nie wyjdą takie, żeby można było podać kąt)

\(\displaystyle{ \left(\sqrt{2 - \sqrt{2} } + j \sqrt{ 2 + \sqrt{2} } \right) ^{16}}\)

[lukasz1804]

\(\displaystyle{ \left(\sqrt{2 - \sqrt{2} } + j \sqrt{ 2 + \sqrt{2} } \right) ^{16}
=\left(-2\sqrt{2}+2j\sqrt{2})^8=(2\sqrt{2})^8\cdot (-1+j)^8}\)

[Totalq]

Hmmm, a jeśli mam do rozwiązania takie równanie? Powyższa metoda niestety nie działa :/

\(\displaystyle{ z^{6} = \left( 2 + 4j\right) ^{6}}\)

[kalwi]

Pierwiastkami szóstego stopnia liczby \(\displaystyle{ 1}\) są: \(\displaystyle{ t_1,t_2,...,t_6}\), przy czym powiedzmy, że \(\displaystyle{ t_1=1}\) - resztę wartości można łatwo policzyć. Z równania od razu widać, że jednym z rozwiązań jest \(\displaystyle{ z_1=2+4j}\). Wtedy pozostałymi rozwiązaniami są \(\displaystyle{ z_2=z_1 \cdot t_2, \ \dots \ z_6=z_1 \cdot t_6}\)

[kerajs]

Sposób trochę bardziej czasochłonny niż podany przez kalwi,
\(\displaystyle{ z^6=a^6}\)
\(\displaystyle{ z^6-a^6=0}\)
\(\displaystyle{ (z^3-a^3)(z^3+z^3)=0}\)
\(\displaystyle{ (z-a)(z^2+az+a^2)(z+a)(z^2-az+z^2)=0}\)
\(\displaystyle{ z-a=0 \vee z^2+az+a^2=0 \vee z+a=0 \vee z^2-az+z^2=0}\)

Równanie
\(\displaystyle{ z^2+az+a^2=0}\) możesz rozwiazać jak równanie kwadratowe lub np tak:
\(\displaystyle{ (z+ \frac{a}{2} )^2=- \frac{3}{4}a^2}\)
\(\displaystyle{ z= \frac{i \sqrt{3} }{2}a-\frac{a}{2} \vee z=\frac{-i \sqrt{3} }{2}a-\frac{a}{2}}\)