Zilustrować zbiór na płaszczyźnie zespolonej

Definicja. Postać wykładnicza i trygonometryczna. Zagadnienia związane z ciałem liczb zespolonych.
majkz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 65
Rejestracja: 4 paź 2014, o 12:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 18 razy
Pomógł: 3 razy

Zilustrować zbiór na płaszczyźnie zespolonej

Post autor: majkz »

Witam. Otóż mam zilustrować na płaszczyźnie zespolonej następujący zbiór:
\(\displaystyle{ \left\{ z \in C: Re[(z-i)^2]\le 0\right\}}\)

Podstawiam za \(\displaystyle{ z=x+yi}\) takie że, \(\displaystyle{ x,y \in \RR}\) i obliczam część rzeczywistą, której wartość wynosi: \(\displaystyle{ x^2-(y-1)^2}\)

A więc: \(\displaystyle{ x^2-(y-1)^2 \le 0 \Rightarrow x^2 \le (y-1)^2 \Rightarrow |x| \le |y-1|}\)

\(\displaystyle{ x \le |y-1| \wedge x \ge -|y-1|}\)
I teraz tak: wykres jaki mi wyszedł to dwie proste przecinające się w punkcie\(\displaystyle{ (0,1)}\) i zamalowane wszystko w górę i w dół od punktu przecięcia (tworzy się coś na kształt klepsydry). Natomiast w odpowiedziach są tylko proste, bez części zamalowanej.
Nie do końca mogę to zrozumieć, z góry dziękuję za pomoc.
Ostatnio zmieniony 10 paź 2014, o 13:22 przez lukasz1804, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
lukasz1804
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4438
Rejestracja: 17 kwie 2007, o 13:44
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź
Podziękował: 12 razy
Pomógł: 1313 razy

Zilustrować zbiór na płaszczyźnie zespolonej

Post autor: lukasz1804 »

Rozważany zbiór to nie tylko dwie proste, ale też obszary, o których wspomniałeś.
majkz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 65
Rejestracja: 4 paź 2014, o 12:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 18 razy
Pomógł: 3 razy

Zilustrować zbiór na płaszczyźnie zespolonej

Post autor: majkz »

Dziękuję!

Jeszcze w tym samym poście chciałbym zapytać o inną graficzną reprezentację zbioru liczb zespolonych. A mianowicie mam następujący warunek: \(\displaystyle{ \left\{ z \in C: arg(z+i-3)= \frac{2 \pi }{3} \right\}}\)

A więc jest to zbiór liczb posiadających ten sam argument \(\displaystyle{ ( \frac{2 \pi }{3} )}\) po przesunięciu o wektor \(\displaystyle{ \vec{u}=[-3, 1]}\)?
Czy wtedy wystarczy, że narysuję półprostą zaczynającą się w punkcie \(\displaystyle{ (0,0)}\) i nachyloną do osi \(\displaystyle{ Re z}\) pod kątem \(\displaystyle{ \frac{2\pi}{3}}\), a następnie przesunę ją o wektor \(\displaystyle{ \vec{v}=[3, -1]}\)?
Ostatnio zmieniony 10 paź 2014, o 23:40 przez majkz, łącznie zmieniany 1 raz.
lukasz1804
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4438
Rejestracja: 17 kwie 2007, o 13:44
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź
Podziękował: 12 razy
Pomógł: 1313 razy

Zilustrować zbiór na płaszczyźnie zespolonej

Post autor: lukasz1804 »

majkz pisze:Czy wtedy wystarczy, że narysuję półprostą w zaczynającą się w punkcie \(\displaystyle{ (0,0)}\) i nachyloną do osi \(\displaystyle{ Re\ z}\) pod kątem \(\displaystyle{ \frac{2\pi}{3}}\), a następnie przesunę ją o wektor \(\displaystyle{ \vec{v}=[3, -1]}\)?
Dokładniej: do dodatniej półosi \(\displaystyle{ Re\ z}\).
majkz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 65
Rejestracja: 4 paź 2014, o 12:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 18 razy
Pomógł: 3 razy

Zilustrować zbiór na płaszczyźnie zespolonej

Post autor: majkz »

Prosiłbym jeszcze o sprawdzenie jednego wyniku, a raczej toku myślenia.
Zilustrować na płaszczyźnie zespolonej: \(\displaystyle{ \left\{ z \in C: arg \frac{i}{i-z}= \frac{4}{3}\pi \right\}}\)

Podstawiam: \(\displaystyle{ w= \frac{i}{i-z}}\) i wymnażam przez sztuczną jedynkę w taki sposób, by usunąć część urojoną z mianownika.
Po przekształceniu: \(\displaystyle{ w= \frac{-1}{-1- z^{2} }+ \frac{z}{-1- z^{2} }}\)
Jak widać: \(\displaystyle{ Rew=\frac{-1}{-1- z^{2} }}\) i \(\displaystyle{ Im w=\frac{zi}{-1- z^{2} }}\)
\(\displaystyle{ \tg \varphi= \frac{Imw}{Rew} \Rightarrow \sqrt{3} = \frac{z}{-1-z^2} \cdot \frac{-1-z^2}{-1} \Rightarrow z=- \sqrt{3}}\)

I wtedy zilustrowaniem będzie po prostu punkt \(\displaystyle{ ( -\sqrt{3},0)}\)
Ostatnio zmieniony 11 paź 2014, o 00:18 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.
Awatar użytkownika
kerajs
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8570
Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 306 razy
Pomógł: 3347 razy

Zilustrować zbiór na płaszczyźnie zespolonej

Post autor: kerajs »

Niech \(\displaystyle{ z=x+iy}\)
\(\displaystyle{ \frac{i}{i-z}= \frac{i}{-x-i(y-1)}= \frac{-i}{x+i(y-1)}= \frac{-y+1-ix}{x^2+(y-1)^2}}\) gdzie \(\displaystyle{ (x,y) \in \RR ^{2} \setminus \left\{ (0,1)\right\}}\)
\(\displaystyle{ \tan \alpha = \frac{\frac{-x}{x^2+(y-1)^2}}{\frac{-y+1}{x^2+(y-1)^2}} = \frac{x}{y-1}}\)
a jednocześnie \(\displaystyle{ \tan \alpha =\tan \frac{4 \pi }{3} = \sqrt{3}}\)
Stąd
\(\displaystyle{ \frac{x}{y-1}= \sqrt{3}}\)
\(\displaystyle{ y= \frac{x}{ \sqrt{3} } +1}\)
Zbiorem liczb ,,z' spełniajacych zadanie jest powyższa prosta bez punktu (0,1)
ODPOWIEDZ