Wyznaczanie liczb zespolonych spełniających równanie

[wesolyroman]

Cześć!
Nie mogę rozwiązać takiego zadania:

Wyznacz wszystkie liczby zespolone z takie, że liczba zespolona
\(\displaystyle{ \frac{1+z}{1-z}}\)
jest rzeczywista.

Dochodzę do czegoś co wygląda tak (przyjąłem, że \(\displaystyle{ z = a + bi}\)):
\(\displaystyle{ \frac{1+2bi- a^{2} - b^{2} }{(1-a)^{2}+b}}\)
i nie mam pomysłu na jakieś dalsze przekształcenia.

Czy w takim razie odpowiedzią jest to, że warunek ten spełnia każda liczba zespolona, która nie ma części urojonej i jest różna od 1?

[sebnorth]

Odpowiedź dobra chociaż ja mam wynik:

\(\displaystyle{ \frac{1 - a^2 - b^2 + 2bi}{(1-a)^2 + b^2}}\)

[a4karo]

A kiedy Twoja liczba jest rzeczywista??? (zakładam, ze dobrze przekształciłeś)

[wesolyroman]

Odpowiedź dobra chociaż ja mam wynik:

\(\displaystyle{ \frac{1 - a^2 - b^2 + 2bi}{(1-a)^2 + b^2}}\)

No ale przecież to jest to samo.

@a4karo Nie rozumiem pytania. Przecież to będzie liczba rzeczywista wtedy i tylko wtedy, kiedy nie będzie w niej występowała jednostka urojona.

[sebnorth]

Nie jest to samo bo u mnie w mianowniku jest \(\displaystyle{ b^2}\), ale to szczegół

[wesolyroman]

Racja, mój błąd. Źle przepisałem na forum.
Dzięki za pomoc

[a4karo]

@a4karo Nie rozumiem pytania. Przecież to będzie liczba rzeczywista wtedy i tylko wtedy, kiedy nie będzie w niej występowała jednostka urojona.

No właśnie. Co stoi przy tej jednostce?