Potęga różnicy pierwiastka z -3 oraz "i"

[pelagius]

Witam,

Opracowuję liczby zespolone. Na jednym z przykładów wynika, że (\(\displaystyle{ -\sqrt{3} - 1) \cdot (-\sqrt{3}+ i)= - 4}\).
O ile kwadrat ujemnego pierwiastka tutaj jeszcze umiem (sobie wytłumaczyć jako: \(\displaystyle{ \sqrt{-1} ^{2} \cdot \sqrt{3} ^{2}}\) co daje \(\displaystyle{ -1 \cdot 3 = -3}\). Druga część czyli \(\displaystyle{ -i ^{2}}\) jednak mnie rozkłada.

Jak dla mnie \(\displaystyle{ i ^{2} = -1}\), następnie nakładam znak "\(\displaystyle{ -}\)" i wychodzi mi \(\displaystyle{ + 1}\). Łącznie \(\displaystyle{ -3 + 1}\)
Prawidłowy wynik to \(\displaystyle{ -3 - 1 = -4}\)
Dziękuje bardzo za pomoc. Siwieję już przy tym...

[SidCom]

To jest wynik \(\displaystyle{ \sqrt{3} + 3 -i(\sqrt{3} + 1)}\)

mnożysz zwyczajnie wyraz po wyrazie...

[pelagius]

Niestety, ale to jest dla mnie zbyt szybko i nie potrafię znaleźć związku...

-- 6 paź 2014, o 21:41 --

Wyjaśniam, że nie chodzi o przedstawienie tej liczby w postaci liczby zespolonej, ale o usunięcie "i" z mianownika. Całe to wyrażenie znajduje się bowiem właśnie w mianowniku. Aby usunąć stamtąd i doszło do mnożenia przez sprzężenie. Dlatego obliczamy wartość.

[SidCom]

Jeśli tak to w pierwszym nawiasie musi być \(\displaystyle{ -\sqrt{3} - i}\) i wtedy wychodzi \(\displaystyle{ 4}\)

\(\displaystyle{ (-\sqrt{3} - i) \cdot (-\sqrt{3}+ i)= (-\sqrt{3}) \cdot (-\sqrt{3})+(-\sqrt{3}) \cdot i +(-i) \cdot (-\sqrt{3})+(-i) \cdot i= \\=3-i \sqrt{3}+i \sqrt{3}-(i \cdot i)=3+1=4}\)

PS. nie trzeba tak mnożyć mozolnie ponieważ \(\displaystyle{ \bigwedge_{z \in C}z \cdot z^{*}=|z|^{2}}\)

[pelagius]

Odpowiedź znalazłem następującą, która sprowadza się do założenia w liczbach zespolonych, że

\(\displaystyle{ i=−1}\)
Jednak założenie to jest niewystarczające, dlatego też należy dodatkowo założyć
\(\displaystyle{ i ^{2} = -1}\)
oraz
\(\displaystyle{ -i ^{2} = -i \cdot (-i) = i^{2} = -1}\)

Przy czym chodziło o \(\displaystyle{ i^{2} = -1}\)
Źródło:

-- 7 paź 2014, o 15:06 --

Już mam o co chodziło. W mianowniku usuwamy "i" przez mnożenie przez sprzężenie:
\(\displaystyle{ (-\sqrt{3}-i)} \cdot (- \sqrt{3}+i)}\)
Wykładowca wyciąga minus przez nawias co daje \(\displaystyle{ -(\sqrt{3}+i)} \cdot (\sqrt{3}-i)}\)
\(\displaystyle{ -(3-i^2)}\) czyli \(\displaystyle{ -(3+1) = -4}\)

Dobrze tylko czemu wychodzi odmienny znak nawet stosując wzór

\(\displaystyle{ \bigwedge_{z \in C}z \cdot z^{ \cdot }=|z|^{2}}\)

[orzelzmatmy]

Już mam o co chodziło. W mianowniku usuwamy "i" przez mnożenie przez sprzężenie:
\(\displaystyle{ (-\sqrt{3}-i) * (- \sqrt{3}+i)}\)
Wykładowca wyciąga minus przez nawias co daje \(\displaystyle{ -(\sqrt{3}+i)} * (\sqrt{3}-i)
-(3-i^2) czyli -(3+1) = -4}\)

Dobrze tylko czemu wychodzi odmienny znak nawet stosując wzór

Masz błąd, ponieważ minus powinien zostać "wyjęty" z obu nawiasów:

\(\displaystyle{ (-\sqrt{3}-i) \cdot (-\sqrt{3}+i)=(-1)\cdot (\sqrt{3}+i)} \cdot(-1)\cdot (\sqrt{3}-i)=(\sqrt{3}+i)} \cdot (\sqrt{3}-i)=3+1=4}\)