Wykaż, że i podniesione do kwadratu jest równe -1

[dorotaa]

Jak w temacie. Mam problem z zadaniem "Wykaż, że \(\displaystyle{ i^{2} = -1}\) "
Bardzo proszę o wytłumaczenie, jak rozwiązać to zadanie lub o szczegółowe wskazówki.

[kerajs]

\(\displaystyle{ L=i^2= (\sqrt{-1}) ^2=((-1)^{ \frac{1}{2}} )^2=(-1)^1=-1=P}\)

[musialmi]

A to nie jest definicja liczby i?
EDIT: No właśnie, wikipedia i, co najważniejsze(!), kompendium Matematyka.pl też tak mówi, więc co tu wykazywać?

[Ponewor]

Nie. \(\displaystyle{ i}\) się definiuje jako \(\displaystyle{ \left( 0, \ 1\right)}\) (choć to zależy od konwencji). Należy teraz wykonać mnożenie zgodnie z definicją mnożenia liczb zespolonych.

[dorotaa]

Ponewor, czyli rozwiązanie kerajs nie jest poprawne? Co mam pomnożyć?

[Ponewor]

\(\displaystyle{ i=\left( 0, \ 1\right)}\)

\(\displaystyle{ \left( a, \ b\right) \cdot \left( c, \ d\right) = \left( ac-bd, \ bc+ad\right)}\)

Teraz:
\(\displaystyle{ i^{2}=\left( \left( 0, \ 1\right)\right) ^{2}= \left( 0 , \ 1\right) \cdot \left( 0, \ 1\right)=\ldots}\)

[Jan Kraszewski]

Zapis \(\displaystyle{ \sqrt{-1}=i}\) jest potoczny. Z formalnego punktu widzenia nie jest poprawny, bo pierwiastkowanie nie jest w liczbach zespolonych operacją jednoznaczną.

JK

[dorotaa]

Wychodzi mi \(\displaystyle{ (-1,0)}\). Tylko co w związku z tym? Na tym dowód się kończy, że współrzędna x=-1, więc \(\displaystyle{ i^{2} =-1}\) ?

[Ponewor]

No zgodnie z przyjętą konwencją \(\displaystyle{ \left( -1, \ 0\right) =-1}\) - tak właśnie jest jak mówisz.

[dorotaa]

dziękuję

[norwimaj]

\(\displaystyle{ L=i^2= (\sqrt{-1}) ^2=((-1)^{ \frac{1}{2}} )^2=(-1)^1=-1=P}\)

To motyw dobrze znany z tego tematu.
\(\displaystyle{ L=i^2= (\sqrt{-1}) ^2=((-1)^{ \frac{1}{2}} )^2
=((-1)^2 )^{ \frac{1}{2}}=1^{\frac12}=1}\)