\(\displaystyle{ Oblicz: (2 - \sqrt{3} + i ) ^{12}}\)
Przy założeniu, że \(\displaystyle{ i^2= -1}\)
Mój sposób:
\(\displaystyle{ (2 - \sqrt{3} + i ) ^{12} = ( ( 2 - \sqrt{3} + i ) ^{2})^{6} = ( ( 6 - 4\sqrt{3} + (4-2\sqrt{3})i ) ^{2})^{3} = (56 - 32\sqrt{3} + (96-56\sqrt{3})i)^{3}=8^{3}(7 - 4\sqrt{3} + (12-7\sqrt{3})i)^{3} =
8^{3} (7-4\sqrt{3})^{3}-3 \cdot 8^{3} (7-4\sqrt{3})(12-7\sqrt{3})+i(8^{3} \cdot 3(7-4\sqrt{3})^{2}(12-7\sqrt{3})-8^{3}(12-7\sqrt{3})^{3})}\)
Licząc dalej, wyjdą dość duże liczby, ale chyba sam sposób jest dobry, zastanawiałem się nad 2 metodą czy nie warto czasem zrobić tak:
\(\displaystyle{ (2 - \sqrt{3} + i ) ^{12} = (2 - \sqrt{3} + i(4-3) ) ^{12} = (2 - \sqrt{3} + i(2 - \sqrt{3})(2 + \sqrt{3}))^{12}=(2 - \sqrt{3})^{12}(1+i(2 + \sqrt{3}))^{12}}\)
Jest sens dalej to liczyć, będzie prościej / szybciej ?
Proszę o podanie jeszcze jakiegoś innego sposobu.
Inny sposób rozwiązania zadania
-
- Użytkownik
- Posty: 716
- Rejestracja: 5 sty 2012, o 19:08
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 125 razy
Inny sposób rozwiązania zadania
\(\displaystyle{ i^2= -1}\) tego się nie zakłada, to fakt matematyczny !
skorzystaj ze wzoru de Moivre'a... jest tutaj na forum w zakładce KOMPENDIUM
skorzystaj ze wzoru de Moivre'a... jest tutaj na forum w zakładce KOMPENDIUM
-
- Użytkownik
- Posty: 268
- Rejestracja: 31 mar 2013, o 20:23
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 82 razy
Inny sposób rozwiązania zadania
Kiedy \(\displaystyle{ i=3}\), to też prawda? Chodzi o zaznaczenie, że \(\displaystyle{ i}\) to stała matematyczna, a nie pierwsza liczba.