Inny sposób rozwiązania zadania

Definicja. Postać wykładnicza i trygonometryczna. Zagadnienia związane z ciałem liczb zespolonych.
james4444
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 10
Rejestracja: 28 lis 2013, o 22:15
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Nowy Sącz
Podziękował: 1 raz

Inny sposób rozwiązania zadania

Post autor: james4444 »

\(\displaystyle{ Oblicz: (2 - \sqrt{3} + i ) ^{12}}\)
Przy założeniu, że \(\displaystyle{ i^2= -1}\)

Mój sposób:

\(\displaystyle{ (2 - \sqrt{3} + i ) ^{12} = ( ( 2 - \sqrt{3} + i ) ^{2})^{6} = ( ( 6 - 4\sqrt{3} + (4-2\sqrt{3})i ) ^{2})^{3} = (56 - 32\sqrt{3} + (96-56\sqrt{3})i)^{3}=8^{3}(7 - 4\sqrt{3} + (12-7\sqrt{3})i)^{3} =
8^{3} (7-4\sqrt{3})^{3}-3 \cdot 8^{3} (7-4\sqrt{3})(12-7\sqrt{3})+i(8^{3} \cdot 3(7-4\sqrt{3})^{2}(12-7\sqrt{3})-8^{3}(12-7\sqrt{3})^{3})}\)


Licząc dalej, wyjdą dość duże liczby, ale chyba sam sposób jest dobry, zastanawiałem się nad 2 metodą czy nie warto czasem zrobić tak:

\(\displaystyle{ (2 - \sqrt{3} + i ) ^{12} = (2 - \sqrt{3} + i(4-3) ) ^{12} = (2 - \sqrt{3} + i(2 - \sqrt{3})(2 + \sqrt{3}))^{12}=(2 - \sqrt{3})^{12}(1+i(2 + \sqrt{3}))^{12}}\)

Jest sens dalej to liczyć, będzie prościej / szybciej ?
Proszę o podanie jeszcze jakiegoś innego sposobu.
SidCom
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 716
Rejestracja: 5 sty 2012, o 19:08
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 125 razy

Inny sposób rozwiązania zadania

Post autor: SidCom »

\(\displaystyle{ i^2= -1}\) tego się nie zakłada, to fakt matematyczny !

skorzystaj ze wzoru de Moivre'a... jest tutaj na forum w zakładce KOMPENDIUM
Hydra147
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 268
Rejestracja: 31 mar 2013, o 20:23
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 82 razy

Inny sposób rozwiązania zadania

Post autor: Hydra147 »

Kiedy \(\displaystyle{ i=3}\), to też prawda? Chodzi o zaznaczenie, że \(\displaystyle{ i}\) to stała matematyczna, a nie pierwsza liczba.
ODPOWIEDZ