Potęgowanie liczby niewymiernej

[Koreks]

Cześć!
Mam problem. Otóż od kilku dni męczę się z poniższym przykładem.

\(\displaystyle{ \left( 1+ \frac{ \sqrt{3} }{2}+ \frac{i}{2} \right) ^{24}}\)

Domyślam się, że pewnie należy skorzystać ze wzorów Moivre'a, tylko natrafiam na problem w momencie kiedy mam wyliczyć argument funkcji sin i cos. Otrzymuję coś takiego:

\(\displaystyle{ \sin \alpha = \frac{1}{2 \sqrt{2+ \sqrt{3} } }}\)

\(\displaystyle{ \cos \alpha = \frac{ \sqrt{2+ \sqrt{3} } }{2}}\)

Bez problemu wyznaczę wartość argumentu metodą "kalkulator w dłoń", ale chyba nie o to chodzi w tym przykładzie.
Czy ktokolwiek z was wie jak się zabrać do tego zadania?
Będę wdzięczny za wszelkie wskazówki.
Pozdrawiam

[kerajs]

Możliwa że ta jedynka jest napisana omyłkowo, bo bez niej masz ładny kąt.

Ja bym robił tak:
\(\displaystyle{ a= 1+ \frac{ \sqrt{3} }{2}+ \frac{i}{2} = \frac{1}{2}(2+ \sqrt{3}+i )}\)

I obliczał
\(\displaystyle{ a^2=a \cdot a \\ a^4=a^{2} \cdot a^{2} \\ a^8=a^{4} \cdot a^{4} \\ a^{16}=a^{8} \cdot a^{8} \\ a^{24}=a^{16} \cdot a^{8}}\)

[Koreks]

Możliwe, że jedynka to pomyłka jednak raczej jest ona na swoim miejscu ponieważ jest też kilka innych analogicznych przykładów. Oczywiście wpadłem też na twój pomysł jednak puki co traktuje go jako ostateczność. Jedyne co mi jeszcze przychodzi do głowy to znalezienie wielomianu takiego aby podzielenie wyrażenia w nawiasie przez niego dało iloraz dwumianów a wtedy to już z górki.
Mimo wszystko dzięki za pomoc.

[a4karo]

a spróbuj tak: \(\displaystyle{ \frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{i}{2}=z}\).
Wtedy masz do policzenia \(\displaystyle{ (1+z)^{24}}\) i dużo rzeczy się pewnie poskraca, bo \(\displaystyle{ z^n}\) wylicza się prosto.

[Koreks]

Postępując metodą a4karo rozwiązałem. Odpowiedź to \(\displaystyle{ 2107560 \sqrt{3}+3650401}\)
Jednak mimo wszystko nie wyobrażam sobie liczenia tego na egzaminie.
Gdyby jednak ktoś wymyślił jakiś inny sposób to mam prośbę aby go tu umieścił.
Dziękuję za pomoc.

[Premislav]

Cześć! Bardzo miło, że policzyłeś wartość \(\displaystyle{ \sin \alpha}\) oraz \(\displaystyle{ \cos \alpha}\), bo nie chciałoby mi się tego robić, przyjmuję, że wykonałeś tę robotę poprawnie.
Teraz zauważmy, że tutaj \(\displaystyle{ \sin \alpha \cdot \cos \alpha= \frac{1}{4}}\). Ale \(\displaystyle{ \sin \alpha \cos \alpha= \frac{1}{2}\sin 2\alpha}\), więc \(\displaystyle{ \sin 2\alpha= \frac{1}{2}}\), czyli \(\displaystyle{ 2\alpha= \frac{\pi}{6}+2k\pi \vee 2\alpha=5\frac{\pi}{6}+2k\pi}\), \(\displaystyle{ k \in \ZZ}\) i z wyznaczeniem \(\displaystyle{ \alpha}\) sobie raczej dasz radę.
Dalej można skorzystać z de Moivre'a.

[Dasio11]

Jest też inny sposób.

Niech \(\displaystyle{ z = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{i}{2}.}\) Wtedy \(\displaystyle{ |z| = 1.}\) Także \(\displaystyle{ |1| = 1,}\) zatem liczby

\(\displaystyle{ 0, 1, z, 1+z}\)

(narysowane na płaszczyźnie) są wierzchołkami rombu o boku długości \(\displaystyle{ 1.}\) A ponieważ przekątna rombu dzieli kąt przy wierzchołku na pół, więc

\(\displaystyle{ \mathrm{arg}( 1+z ) = \frac{1}{2} \mathrm{arg} \, z = \frac{\pi}{12}.}\) Moduł niestety trzeba wyliczyć z definicji, ale będzie można zastosować czysty wzór de Moivre'a.